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전체 곡률.
** **...우리는 미니 포지코네를 붙여서 구를 만들 수 있다. 그러나 이 과정에서 곡률(또는 곡률 밀도, 국소 곡률)이 일정한 이 표면은 닫히게 된다. 따라서 일정한 곡률을 포함하고 있지만, 그 곡률은 무엇인가?
...구 위에 지오데식 삼각형을 그린다면, 그 삼각형은 일정한 수의 미니 포지코네, 즉 일정한 "곡률의 양"을 포함하게 되는데, 이는 각도로 나타난다. 이 값은 삼각형의 면적에 비례하며, 정확히는 삼각형의 면적 s와 구의 면적 S의 비율에 비례한다.
...그러나 앞서 언급했듯이, 포지코네를 연결해 만든 표면 위에 지오데식 삼각형을 그릴 때, 유클리드 기하학에서의 각 합과의 차이는 삼각형 내부에 포함된 각 콘의 꼭짓점에 연결된 곡률의 합과 같다. 따라서 위의 삼각형에서 세 각 a, b, g의 합을 측정하면, 이 삼각형 내부에 포함된 각도 곡률의 양을 알 수 있다. 구의 지오데식은 그 '대원'들이다.
...우리의 구를 여덟 등분으로 자른다. 그러면 세 각이 모두 직각인 지오데식으로 이루어진 여덟 개의 삼각형을 얻게 된다.
...각각의 삼각형은 곡률 p/2를 포함하므로, 여덟 개이므로 구의 전체 곡률은 4p가 된다.
...이 작은 관찰을 통해 매우 단순한 추론을 통해 기하학적 결과를 도출할 수 있음을 보여주고자 한다.
...뾰족한 원뿔의 주제로 돌아가 보면, 물체의 측면은 내부에 "포함된" 곡률의 양에 따라 달라진다. 이 곡률은 점 형태(뿔 모양 점)일 수도 있고, 구면 캡 위에 분포되어 있을 수도 있다. 우리는 이 캡을 동형 변환을 통해 점으로 수축시킬 수 있으며, 그 과정에서 항상 동일한 "곡률의 양"을 포함하게 할 수 있다.
궤도.
...일반 상대성 이론의 핵심 아이디어는 간단하다. 물체, 입자, 광자 또는 물질의 궤도를 지오데식으로 간주하는 것이다. 물론 이는 네 차원의 초표면 위의 지오데식이다. 따라서 우리는 여전히 교육적 이미지에 그치고 있다.
우리의 둥그스름한 원뿔 위에 지오데식을 그릴 수 있으며, 이를 평면에 투영할 수 있다.
...모든 입자는 초표면의 지오데식을 따른다: 물질 입자뿐만 아니라 광자와 중성미자도 마찬가지이다. 그래서 우리는 물체를 완전히 통과하는 지오데식을 그려보는 데 즐거움을 느꼈다. 중성미자는 태양을 아무 문제 없이 통과할 수 있다.
...그러나 이러한 지오데식을 투영하는 평면은 무엇인가? 이는 우리가 공간을 표현하는 방식이다. 우리의 '정신적 우주'는 완전히 유클리드적이며, 우리의 사고는 '평평한' 것이다. 우리가 혜성의 궤도가 태양 근처를 스쳐가는 것을 보면, 실제로는 '직선으로' 가고 있다는 사실을 결코 생각하지 않는다. 즉, 그 궤도는 초표면의 지오데식을 따르고 있다는 것이다. 우리가 세상을 인식하는 방식은 그림 24'과 같으며, 여기서 천체가 그 근처를 지나가는 물체를 '끌어당긴다'고 보는 것이다.
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