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일반 상대성 이론과 곡률.
...우리는 물질이 공간을 휘게 하고, 우주의 기하학, 즉 '우주 초표면'의 기하학을 결정한다고 말했다. 그러나 일반 상대성 이론에서는 곡률이 양수이거나 0이다. 우리 주변에서는 태양, 행성, 별과 같은 질량의 집합체를 볼 수 있다. 이들 사이에는 우리가 진공으로 간주하는 무언가가 있다. 그러나 그 진공은 진정으로 존재하는가?
...물리학자의 진공이란 물질을 제거한 후 남는 것이지만, 그것은 '무엇도 아닌 것'이 아니다. 가장 완전한 진공이라도 항상 광자들로 가득 차 있다. 질문: 광자는 우주에서 곡률을 만드는가?
...광자가 질량이 0이라고 여겨지므로 '아니오'라고 답하고 싶을 것이다. 그러나 이것은 그들의 '관성 질량'에 관한 것이다. 그들은 중력 질량을 가지는가? 즉 중력장에 기여하는가?
광자에 대해 말하기 전에, 반물질에 대해 이야기해보자. 방금 우리는 두 개의 원뿔 모양 점을 이용해 표면을 만들었다.
...기계적으로, 만약 당신이 이 물체를 만들었다면, 두 원뿔 요소를 같은 방향으로 배치했을 것이다. 그러나 다른 방식으로도 만들 수 있었다:
...원뿔은 정점이 위를 향하든 아래를 향하든 그 자체로는 원뿔이다. 만약 당신이 이 이상한 물체를 만들고, 접착 테이프로 지오데시크 곡선을 그린다면, 동일한 결과를 얻게 된다. 두 원뿔 점 S1과 S2는 모두 양의 집중 곡률 점이다.
...곡률을 질량과 동일시한다면, 이것은 두 양의 점질량 주변의 기하학을 설명하는 교육적인 이미지이다.
...이것은 물질과 반물질의 이중성에 대한 나쁘지 않은 이미지이며, 동시에 중요한 점을 짚어준다: 반물질은 양의 질량을 가진다. 물질과 마찬가지로, 지역적으로 양의 곡률을 만든다.
...물질과 반물질은 만나서 상쇄되어 복사, 즉 광자를 만들어낼 수 있다. 그 반대도 가능하다. 따라서 두 정점 S1과 S2를 가까이 가져다 놓음으로써 광자를 교육적인 이미지로 설명할 수 있다. 그 후 당신은 A와 B, C와 D를 연결하여 두 개의 원뿔 요소를 만들면 된다.
...이 모델은 광자가 자기 반입자임을 암시한다. 왜냐하면 이제 원뿔의 정점이 어느 방향을 향하고 있는지 알 수 없기 때문이다.
...어떻게 하면 브리스톨 종이를 이런 식으로 비틀 수 있을까? 그러나 나중에 이런 식의 모델을 더 많이 만들 것이다. 어쨌든, 만약 당신이 두 원뿔 점을 모아놓은 점 주위에 지오데시크 삼각형을 그린다면, 유클리드 삼각형의 내각 합보다 양의 초과를 얻게 된다.
...이러한 물질과 반물질의 상호작용으로 생긴 광자는 공간을 양의 방향으로 휘게 한다.
...우리가 현재까지 도달한 단계에서는 모든 것이 양수이다: 질량, 곡률, 에너지. 그렇다면 음의 질량이 만들어내는 기하학은 어떨까? 만약 그런 질량이 존재한다면, 지역적으로 음의 곡률을 만들어낼 것이다. 이에 따라 우리는 음의 원뿔(negacône)에 대해 이야기하게 된다.
음의 원뿔.
...일반적인 원뿔, 즉 '양의 원뿔'을 만들기 위해 우리는 각도 q에 해당하는 부채꼴을 제거하고 가장자리를 맞대었다. 이번에는 반대로 행동한다. 우리는 브리스톨 종이에 가위 자국을 내고, 반대로 각도 q의 평평한 모서리 조각을 붙인다.
...오른쪽에 지오데시크으로 이루어진 삼각형을 그렸다. 이번에는 유클리드 삼각형의 내각 합보다 각도 q만큼 작다. 우리는 점 S를 음의 곡률 집중점이라고 부른다. 둥근 가장자리가 있다면:
...물론, 지오데시크으로 이루어진 삼각형이 점 S를 포함하지 않으면, 내각의 합은 π와 같다. 이 음의 원뿔의 '측면'은 유클리드 기하학을 따르며, 곡률이 없다. 곡률은 음의 것으로, S에 집중되어 있다.
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