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공액 곡면.
...이제 우리는 같은 곡률량을 가지지만 부호가 반대되는 둔한 포지코네와 둔한 네가코네를 연결할 것이다: +q와 -q. 이 둘을 서로 마주보게 배치할 수 있으며, 그 과정에서 '일대일 대응'을 만들어낼 수 있다(단사적이고 전사적). 그러면 두 개의 면이 생긴다. 이를 F와 F라고 부르자. F의 모든 점은 F의 점과 대응된다.
...이제 둔한 부분의 원형 윤곽선들이 일대일로 대응되도록 조정해보자. 이는 전체를 평면에 투영함으로써 설명할 수 있다. 그러면 두 개의 공액 곡면을 얻게 된다.
...원추형 측면은 '비곡선'이며, 유클리드 평면의 원소이다. 이러한 표면의 모든 점에서 국소 곡률은 0이라고 말할 수 있다. 구면 캡과 말 등자(마루형)는 일대일로 대응되며, 그 곡률은 서로 반대이다.
일반 상대성 이론.
...기초 아이디어는 우주의 기하학이 그 안에 포함된 '에너지-물질'에 의해 결정된다는 것이다. 여기서 '물질'이 아니라 '에너지-물질'이라는 표현을 사용한 점에 주목하자. 이는 우주 내 모든 구성 요소가 기하학에 영향을 미친다는 것을 보여준다. 특히 복사, 광자(또는 중성자)도 포함된다. 앞서 우리는 광자가 공간에 미세한 양의 양의 곡률을 생성함을 보였다.
...우리는 먼저 정적 상태를 가정해 보자. 평평하고 자유로운 표면은 전단력이 없는 표면이다. 전단력을 양 또는 음으로 조작함으로써 그 기하학을 바꿀 수 있다(부호는 약속에 따라 달라진다). 예를 들어 플라스틱 필름을 가열하면 양의 곡률을 가진 부풀어 오른 부분(두드러짐)이 생길 수 있다.
...또한 종이의 표면에 건조될 때 수축하는 물질을 도포할 수도 있다. 이로 인해 전단력이 생기며, 음의 곡률을 가진 영역이 나타난다.
...금속 성형공은 이러한 전단력을 조절하여 판금을 변형한다. 예를 들어 금속 튜브를 생각해 보자. 한쪽을 가열하고 다른 쪽을 냉각하면 어떻게 될까?
튜브는 곡선을 이루게 되며, 가열된 부분은 팽창하고 냉각된 부분은 수축한다.
...이 과정에서 금속 내부에 전단력이 생긴다. 이 단어의 어원이 수학과 기하학에서 '텐서(tensor)'라는 용어가 된 것이다. 재료 강도 전문가는 '응력 텐서(stress tensor)'라고 말하고, 기하학자는 '곡률 텐서(curvature tensor)'라고 말한다.
위의 간단한 실험은 다음과 같은 아이디어를 보여준다:
국소적 에너지 밀도 -----> 국소적 기하학
...일반 상대성 이론에서도 마찬가지이다. 다만 차이점은 이 에너지-물질의 국소적 밀도가 여기서 2차원 표면의 기하학이 아니라, 4차원 초표면의 기하학을 결정한다는 점이다. 그러나 핵심 아이디어는 유사하다.
...수학자는 이에 대해 텐서적 표현(tensorial notation) 을 사용한다. 비수학자에게는 여기서 더 설명하기 어렵다. 그러나 아인슈타인의 텐서 S(굵은 글자로 표기)는 기하학적 측면을 나타낸다. 아인슈타인 방정식에서 이 텐서는 에너지-물질의 분포를 설명하는 다른 텐서 T와 비례 관계에 있으며, 비례 상수로 '아인슈타인 상수 c'가 있다.
따라서 아인슈타인의 유명한 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다:
S = c T
...텐서 T에는 질량 밀도 r과 압력 p가 포함된다(실제로 가장 일반적인 텐서 T는 더 복잡하지만, 여기서는 일반적으로 사용되는 이 표현으로 충분하다). 정적 상태에서는 질량 밀도 r(x,y,z)와 압력 p(x,y,z)의 특정 분포를 주게 된다. 이러한 정보로 텐서 T를 구성할 수 있으며, 이는 문제의 모든 정보를 담고 있다. 이제 물음은 다음과 같다: "이 텐서 T와 일치하는 방정식을 만족하는 기하학은 무엇인가?"
...즉, 물리학자는 우주의 국소적 구성 요소를 알고 있으며, 그에 따라 우주의 초표면의 기하학을 결정하려 한다.
기하학이란 곧 측지선을 의미한다. 여기서 일반 상대성 이론의 두 번째 가정이 등장한다:
우주를 여행하는 물체들은
공간-시간 초표면의 측지선을 따른다.
여기서 '물체'란 기본 입자(예: 광자, 중성자), 행성, 별 등 모든 것을 포함한다.
이 시점에서 한 가지 주의할 점: 이 모든 과정 속에서 입자는 어디에 있는가?
...답변: 일반 상대성 이론 전문가는 거시적 현상을 다룬다. 문제의 입력인 질량 밀도 r과 압력 p는 우주의 구성 요소를 거시적으로 묘사한 것이다. 출력도 마찬가지이다. 기하학자는 이렇게 말한다:
- 당신은 저에게 r(x,y,z)와 p(x,y,z)라는 함수를 주셨고, 그에 맞는 초표면과 그에 포함된 측지선의 집합을 만들었습니다. 하지만 더 이상은 불가능합니다. 저는 입자, 원자 등을 만들어낼 수 없습니다. 그 일은 다른 전문가에게 맡기십시오.
결론적으로 말해, 일반 상대성 이론과 입자 물리학 사이의 연결은 아직 완성되지 않았다.
하지만 천문학자는 이렇게 말할 수 있다:
- 어쨌든, 광자가 이 초표면의 특정 측지선을 따르는 가정이 성립한다. 증거는 관측이 가능하다는 것이다. 행성들을 점질량으로 간주하고, 이들 역시 같은 초표면의 측지선을 따른다고 가정하면, 궤도를 계산할 수 있다. 또한 중력 렌즈 효과도 존재한다.
그는 옳다.
...중력 렌즈 효과에 대해 간단히 말해보자. 물론 둔한 원추의 이미지는 교육적 목적의 도식일 뿐이다. 별 주위를 원형으로 공전하는 행성도 공간-시간의 측지선을 따른다. 그러나 둔한 원추 위에 그린 원은 측지선이 아니다:
이것은 교육적 도식의 한계를 보여줄 뿐이다. 비록 기하학적 이미지라도 말이다.
...광자는 실제로 공간-시간 초표면의 측지선을 따른다. 이는 둔한 원추의 이미지를 활용해 설명할 수 있다. 빛의 광선은 질량이 큰 물체를 둘러싸고 지나간 후 관측자 쪽으로 수렴할 수 있다. 이러한 측지선을 투영하면 마치 거울 효과처럼 보이게 된다. 관측자는 하나의 원천이 아니라 두 개의 원천이 있는 것처럼 느끼게 된다:
../../../bons_commande/bon_global.htm 기사 요약 과학 요약 메인 페이지
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