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좌표 변화에 대한 불변성.
...이것이 일반 상대성 이론의 핵심 개념 중 하나이며, 설명하기 쉽지 않다. 우리가 말했듯이, '우주론적 해'를 찾는다는 것은, 정적 또는 비정적일 수 있는 4차원 초표면을 구성하는 것을 의미한다.
...예를 들어, 구의 위상 구조를 가진 강판 물체를 생각해 보자. 이는 '강판으로 만든 구'이다. 이 표면이 특정 부분을 가열하고 냉각함으로써 변형될 수 있음을 쉽게 상상할 수 있다. 예를 들어, 한 지점에서만 가열하고 반대편 지역은 냉각하면, 이 구는 계란 모양으로 변형될 수 있다. 계란은 여전히 구의 위상 구조를 가지지만, 곡률이 변하는 표면이다.
...한 지점에서 가열하고 다른 지점에서 냉각하면 금속 내부에 응력이 생긴다. 물론 이 재료는 전도성이 있으므로, 가열과 냉각을 멈추면 온도가 균일해지고 물체는 다시 구형으로 돌아간다. 중요한 것은, 비균일한 온도장을 가진 정적 상태를 만들 수 있다는 점이다. 이 장은 응력을 만들어내며, 이를 수학적 객체 T라 불리는 텐서로 구체화할 수 있다.
무언가가 물체의 기하학을 설명한다. 이를 계량이라고 한다. 이 두 번째 수학적 객체를 기반으로 다음과 같은 계산이 가능하다:
- 기하학적 텐서 S 계산
- 표면의 측지선 계산
이 표면의 기하학은 아인슈타인 방정식과 유사한 방정식을 통해 계산할 수 있다:
S = a T
여기서 a는 상수이다. 강판 내부의 온도장, 즉 응력 텐서를 미리 알고 있다면, 그 기하학을 추론할 수 있다. 이러한 기하학을 가장 잘 이해하는 방법은 측지선 시스템을 분석하는 것이다. 우리는 구의 측지선(그 '대원')을 알고 있다. 그러나 계란의 측지선은 다르다.
...이 측지선을 설명하기 위해 표면 위에 좌표계를 정의해야 한다. 구의 경우, 전통적인 방위각-위도 좌표계를 사용할 수 있다.
...특정한 이 좌표계에서, 구의 측지선은 특정한 방정식으로 표현된다.
이 구 위에서 q = 상수인 곡선들은 두 점을 지나는 측지선의 집합을 나타낸다. 그러나 j = 상수인 곡선(위도선)은 표면의 측지선이 아니다.
...또한 유사한 좌표계를 정의하고 계란 표면의 측지선 방정식을 쓸 수 있다. 그러나 곧 알 수 있는 중요한 점은: 표면의 측지선은 그를 설명하기 위해 선택한 좌표계와 무관하다. 마치 구나 계란 위의 점들이, 그를 나타내기 위해 사용하는 좌표계에 관계없이 존재하듯이 말이다.
...마찬가지로, 평면 위에서는 직교 좌표계나 극좌표계로 점을 표현할 수 있다. 평면의 직선은 측지선이다.
한 직선은 두 가지 좌표계에서 각각 다른 방식으로 설명될 수 있다.
...이것은 같은 측지선이지만, 완전히 다른 설명을 가진다. 평면의 직선은 그들을 설명하는 방법이나 사용하는 좌표계에 관계없이 존재한다. 그리고 우리는 그들을 무수히 많이 상상할 수 있다.
...그러면 무엇이 본질적인가? 답은: 직선 위(또는 임의의 곡선 경로 위)에서 측정한 길이 s이다. 표면 위의 두 점 M1과 M2 사이에서 가장 짧은 경로는 측지선이다.
...마찬가지로, 구나 계란과 같은 물체의 두 점 사이의 거리는 좌표계의 선택과 무관한 양이다. 표면 위에 두 점 M1과 M2를 정하고, 이 둘을 연결하는 측지선을 그리면, 그 경로를 따라 측정한 길이 s는 어떤 좌표계를 사용하든 동일하다.
...4차원 초표면인 '우주'도 마찬가지이다. 이는 자신의 측지선 체계를 가지며, 좌표계의 변화에 대해 불변하다. 우리는 (x, y, z, t) 좌표를 가진 공간이 아니라, 4차원 초표면에 살고 있다. 이 초표면은 그 자체의 측지선 네트워크로 완전히 기술될 수 있다. 이 측지선 위에는 길이 s가 존재하며, 이 역시 좌표계의 변화에 대해 불변하다. 이 초표면의 점들은 더 이상 공간의 점이 아니라, 공간-시간의 초표면의 점이다. 우리는 이를 사건이라고 부른다. 서로 다른 두 사건 사이에는 's'라 불리는 무언가가 존재한다. 그런데 이 's'는 과연 무엇인가?
...이것은 고유 시간이다.
...이 4차원 공간-시간 초표면 내에서 측지선은 두 사건 M1과 M2를 분리한다. 내가 공간-시간을 여행하기 위해 차량을 사용했다면, 내 보드 시계에 나타난 시간은 s가 되었을 것이다.
좌표계의 선택은 공간 좌표(x, y, z)와 시간 좌표 t로 공간-시간의 점을 나타내는 것이다. 그러나 이 선택은 임의적이므로, 공간과 시간은 본질적인 존재를 가지지 않는다. 단지 표면을 '읽고', 탐색하는 방법일 뿐이다. 유일한 제약은, 가정에 따라 우리는 반드시 측지선을 따라 움직여야 하며, 그 위에서 유일하게 신뢰할 수 있는 것은 '고유 시간 s'이며, 단순한 시간 t(시간적 기준점)가 아니라, 그 자체로는 신뢰할 수 없다는 점이다.
각각의 좌표계 선택은 사건과 현상에 대한 서로 다른 해석 체계를 제공한다.
...따라서 물리학자들은 좌표계 선택에 독립적인 형식을 찾았다. 이것이 텐서 형식의 핵심이다. 이 주제에 대해 더 말할 수는 없으며, 복잡한 기술적 세부사항으로 들어가기 때문이다.
특이점 문제.
구 위에서 전통적인 각도 좌표계를 선택하면 두 개의 극 특이점이 생긴다.
구를 매핑할 때 이러한 극 특이점을 피하는 것은 불가능하다.
...참고로, 구를 단 하나의 특이점만을 가진 방식으로 매핑할 수 있다. 구를 아래 그림과 같이 평면으로 자르는 방식으로 첫 번째 곡선 집합(원)을 만든다:
그 후 두 번째 곡선 집합:
이 유일한 특이점 외에는 문제 없이 점들을 정의할 수 있다. 구를 반대편에서 바라보면 다음과 같은 모습을 볼 수 있다:
...이 유일한 특이점 S를 제외하고는 점들을 어렵지 않게 식별할 수 있다. 그러나 이 격자 특이점 S를 정의하는 매개변수 a와 b의 값은... 의미가 없다.
...그러나 구는 기하학적으로, 본질적으로 특이하지 않다. 당구공이나 계란을 아무리 돌려도 특이점은 발견되지 않는다.
...따라서 이러한 특이점들은 좌표계 선택에 의해 만들어진 것이다.
../../../bons_commande/bon_global.htm
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