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그러나 진정한 기하학적 특이점이 존재한다:
예를 들어...
...그 사이에 주의 깊게 살펴보면, 접힌 부분은 표면의 특별한 영역으로, 왼쪽은 음의 선형 곡률, 오른쪽은 양의 선형 곡률을 포함한다. 의도적으로 이 두 표면은 구면 캡으로 만들어졌다. 최종 객체는 구의 위상 구조를 가진다. 따라서 총 곡률은 4π가 된다. 왼쪽 객체가 동일한 반지름을 가진 구의 3분의 2를 두 번 사용하여 만들어졌다고 가정하자. 각 구성 요소는 3π의 곡률을 갖는다. 합계는 6π가 된다. 따라서 접힌 부분이 포함하는 곡률(음의)의 양을 즉시 알 수 있다. 그것은 -2π이다. 이 곡률은 원형 접힌 부분 전체에 균일하게 분포되어 있다. 따라서 삼각형 ABC의 각도 합을 계산할 수 있다. 표면을 측정함으로써 삼각형이 포함하는 곡률(각도량)의 양을 먼저 알 수 있다. 그것은 다음과 같다:
접힌 부분의 곡률을 빼야 한다. 그것은 다음과 같다:
렌즈도 구의 위상 구조를 가진다. 따라서 접힌 부분은 양의 선형 곡률 2π를 포함한다.
...또한, 세 개의 지오데식선으로 구성된 이상한 삼각형 ABC의 각도 합을 계산할 수도 있다. 지오데식선은 쉽게 접힌 부분을 넘는다. 여러분은 접착 테이프를 사용해 직접 실험해보면 된다.
호 mn은 선형 곡률을 포함한다. 위에서 언급한 렌즈가 동일한 구의 4분의 1 두 개로 만들어졌다고 가정하자. 각각은 곡률 π를 포함한다. 따라서 접힌 부분을 제외한 표면 전체는 곡률 2π를 포함한다.
...삼각형 ABC와 접힌 호에 포함된 각도 곡률을 합산하면, 유클리드 각도 합 π에 대한 양의 차이를 알 수 있다.
표면의 곡률 문제를 다루는 데 있어, 이러한 계산이 비교적 쉽게 가능함을 알 수 있다.
...표면은 특이점이나 접힌 부분을 가질 수 있다. 이 경우, 이는 좌표계 선택에 의해 발생한 것이 아니라, 본질적인 기하학적 특이점이다.
...그 사이에 주목할 점은, 이 선형 곡률이 표면의 일부 영역에 균일하게 분포될 수 있다는 점이다. 예를 들어 왼쪽 그림의 경우, 다음과 같은 결과를 얻게 된다:
...이것은 앞서 제시된 방법과 동일한 접근 방식이다. 원뿔의 꼭짓점에 집중된 곡률을 구면 캡에 균일하게 분포시킨 것(원뿔의 끝을 둥글게 다듬은 경우)과 유사하다. 위의 표면을 구성하는 두 개의 구면 캡이 각각 구의 3분의 2를 나타낸다고 가정해보자. 그러면 곡률은
회색으로 칠해진 표면은 균일하게 분포된 음의 곡률 C를 포함하게 되며, 다음과 같은 조건을 만족한다:
../../../bons_commande/bon_global.htm
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