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- *표현 공간.
... 원기둥이 전개 가능한 표면임을 이미 보았다. 이제 종이 한 장을 가져와 보자. 이것은 유클리드 평면 표면이다. 그 위의 측지선은 직선이다. 이 종이 위에 몇 가지 직선을 그린 후, 종이를 구겨보자.
... 만약 이 구겨진 평면 표면을 강체화할 수 있다면, 이 과정이 측지선의 분포에 전혀 영향을 주지 않았다는 것을 알 수 있을 것이다. 다시 테이프로 측지선을 그릴 수 있다. 단지 이 평면이 3차원 봉입 공간 속에서 표현되는 방식만 바꾼 것일 뿐이다.
더 간단한 방법은 판금을...파도치는 판금으로 바꾸는 것이다:
측지선: 변화 없음.
... 기하학적 객체는 우리가 그들을 어떻게 표현하는지, 즉 그들의 표현 공간 에 관계없이 독립적으로 존재한다.
... 우리는 4차원 초표면인 시공간에 살고 있다고 생각한다. 일반 상대성 이론은 이 시공간의 기하학을 장 방정식의 해로서 구성하고, 그 기하학을 초표면의 측지선을 분석함으로써 '읽는' 것을 목표로 한다. 이 경우 더 이상 표현 공간의 문제는 아니다. 이를 위해서는 5차원을 바라볼 수 있는 시각이 필요하지만, 우리는 그런 능력을 갖고 있지 않다.
... 실제로 우리는 유클리드 공간의 투영 좌표를 사용한다. 우리가 질량이 큰 물체 주변 및 내부의 시공간을 설명할 수 있는 기하학적 해를 찾고자 한다고 가정해 보자. 우리는 이 시스템이 구대칭을 가진다고 가정하며, 또한 정상 상태(또는 준정상 상태)라고 가정한다.
... 이 경우 우리는 구좌표계 (r, θ, φ)를 사용한다. 2차원에서는 두 좌표만 필요하며, 대칭은 원형이 된다. 이 경우 평면의 극좌표계를 사용한다:
... 이 둥그스름한 물체의 모델은 실제로 일반 상대성 이론에서 존재하는 정상 해의 2차원 교육용 이미지이다. 이 해는 1917년 오스트리아의 슈바르츠실트가 "아인슈타인 방정식"의 특수해로 제안했다:
S = c T
이미 위에서 소개한 바 있다. 이 해는 지적이고 섬세하다. 계산적으로는 구축하기가 쉽지 않다. 이 점을 강조하여, 아인슈타인이 당시의 세상에서 고립된 천재였다는 신화를 흔들어보려는 것이다.
... 이 해로부터, 구대칭을 가진 질량 주위에는 평면 내에 존재하는 측지선이 존재하며, 그 형태는 r = f(θ)로 계산할 수 있음을 보일 수 있다. 이러한 궤도(또는 적어도 우리가 유클리드적 사고 공간에 그려내는 그들의 투영)는 "거의 케플러적"이며, 케플러의 법칙은 질량이 작고(뉴턴적 시각에서 이는 "힘"으로 간주됨), 그 질량 내의 국소 곡률이 작을 때 근사적으로 나타난다.
... 이 해는 일반 상대성 이론의 핵심 중 하나이며, 단순한 교육용 이미지로는 설명할 수 없는 점이 있지만, 이 해 덕분에 수성의 근일점 운동이 예측되고 계산될 수 있다. 아인슈타인은 이 해를 이용해 이 현상을 설명했으며, 그 결과 이론은 이제부터 "아인슈타인 이론"이라 불리게 되었다. 왜 슈바르츠실트는 자신의 발견을 활용하지 않았는가? 그는 반드시 전선에 나가야 한다고 고집했고, 그곳에서 가스에 노출되어 곧 죽었다.
... 사실 이 유명한 아인슈타인 방정식이 정말로 그의 것이었는지 확신할 수 없다. 아마도 이 방정식은 위대한 수학자 힐베르트가 제안했을 가능성이 있다. 아인슈타인은 이후 러시아의 프리드만이 발견한 비정상 해에 대해서도 열광하지 않았다. 프리드만은 이 장 방정식의 비정상 해를 발견하여 우주의 진화를 설명할 수 있었다. 마찬가지로, 1921년 젊은 수학자 칼루자의 연구도 마찬가지였다. 그의 연구는 재발견되어 지금은 초현수 이론의 출발점이 되고 있다. 이러한 사실들은 과학적으로 별로 중요하지 않으며, 아인슈타인의 가치를 떨어뜨리지 않지만, 과학적 성취와 스포츠 정신이 반드시 일치하지는 않는다는 점을 보여준다.
슈바르츠실트가 제시한 해에서는 기술적으로 공간이 두 부분으로 나뉜다. 별 내부에서는 물질 밀도 ρ가 일정하다고 가정한다. 이에 따라 의존하는 에너지-물질 텐서 T 또한 0이 아니다. 외부에서는 ρ와 T 모두 0이다.
... 따라서 이 복합 기하학은 비제로 항이 있는 경우와 없는 경우 두 가지 다른 방정식의 해가 된다. 물질 밀도는 별의 표면에서 불연속성을 보인다(슈바르츠실트 내부 해와 외부 해의 쌍에서도 마찬가지이다). 이 경우 별은 일정한 밀도를 가진 구이며, 그 밀도는 별의 표면에서 갑자기 0이 된다. 그러나 수학적 조건을 통해 측지선의 연속성을 유지할 수 있다. 앞서 이미 그림으로 제시된 바 있다(원뿔의 단면과 구면 캡의 접합).
... 질량이 커지고 곡률 효과가 두드러지면, 궤도는 케플러 모델에서 더 명확히 벗어나게 된다. 예를 들어 중성자별 근처에서 그러하다. 아래는 이러한 천체 주위에서의 근일점 운동을 보여준다(태양 주위에서는 수성 궤도의 타원이 세기당 0.15도만큼 움직인다).
... 이러한 궤도를 계산하는 공식과 프로그램은 결코 복잡하지 않다. 나중에 이 사이트에서 호기심 있는 사람들을 위해 공개할 것이다.
... 지금은 이후의 논의를 위해 몇 가지 기하학적 기초를 마련하고 있으며, 제시된 모델들이 단지 참고용임을 다시 한 번 상기하고자 한다.
../../../bons_commande/bon_global.htm
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