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좌표 선택 시 발생할 수 있는 문제들.
...우리는 기하학적 해에 특정 좌표계를 적용함으로써 발생할 수 있는 위험에 대해 논의할 것이다. 즉, 그 해를 특정한 좌표계로 표현할 때, 그 좌표계가 적절해야 한다는 전제가 필요하다. 위의 해를 살펴보면, 이 기하학이 장 방정식의 해라고 가정할 때, 좌표계 (r, θ)를 사용하는 것은 2차원에서 '지역적으로 구형'인 위상을 전제로 한다는 의미이다. 즉, 가상의 기하학적 중심을 중심으로 하는 임의의 원 내부에는 항상 더 작은 원을 내접시킬 수 있으며, 그 원이 점이 될 때까지 계속 작아질 수 있다는 것이다. 수학적으로 말하면, 반지름 r인 모든 원은 '수축 가능한 세포'를 정의한다.
...3차원에서는 지역적으로 우주가 '러시안 돌풍'처럼 구성된다. 한 구 안에는 항상 더 작은 면적을 가진 구를 내접시킬 수 있다. 3차원에서는 이 역시 지역적으로 구형인 위상을 의미한다.
이와 달리 다른 경우는 가능한가?
예, 표면의 위상이 '지역적으로 토러스형'일 경우이다. 2차원에서는 다음과 같다:
...참고: 위 그림의 대상은 점의 위치를 지정하기 위해 두 개의 매개변수를 필요로 하므로 2차원 표면을 의미한다. 이 의미에서 곡선은 '일차원 표면'이다. 기하학자가 원을 언급할 때는 'S1 구'라고 표현한다. 즉, '한 차원의 구'를 의미하며, 곡선과 같은 일차원 대상 위의 점을 지정하기 위해 단 하나의 매개변수, 즉 x좌표만 필요하다. S2 구, 즉 '일반적인 구'와 원, S1 구는 공통점이 있다. 이들은 모두 '닫힌' 대상들이다(이 개념은 위상수학에서 차용된 것이다).
...한 공간 내에서 점의 위치를 정의하는 데 필요한 양의 수는 정확히 그 공간의 차원 의 정의이다. 따라서 (x, y, z, t)로 표현되는 시공간은 네 개의 양을 필요로 하므로 네 차원의 초표면으로 간주된다. 이 네 개의 양을 통해 정의되는 점을 '사건'이라고 한다.
차원 개념에 대한 이 논의는 여기서 마무리한다.
...항상 기억해야 할 점은, 장 방정식의 특정 해를 구성하는 기하학자는 그가 얻은 기하학적 대상을 보지 못한다. 그는 오직 자신의 기하선들을 통해 그 대상을 탐색할 뿐이며, 이를 특정한 좌표계로 기술한다. 이전에 언급한 극좌표계는 표면과 일련의 공축 원기둥의 교차, 그리고 그들의 공통 축을 지나는 일련의 평면의 교차에 해당한다.
3차원에서는 일련의 공심 구와의 교차에 해당한다.
...그러나 이와 같은 튜브형 다리 구조를 가진 표면을 일련의 공심 원기둥으로 자를 경우 어떻게 될까? 원기둥이 표면을 자를 때까지는 문제없다. 그러나 원기둥의 둘레가 '목의 원'의 둘레보다 작아지면, 그 교차는 ... 허수 곡선이 된다. 목의 원의 둘레를 p라 하면, p = 2πRg 를 만족하는 길이 Rg 를 정의할 수 있다.
...명백히 r < Rg 인 모든 원기둥은 표면과 교차하지 않는다. 기하학자가 r < Rg 영역에서 표면의 기하선의 형태를 탐색할 때, 그는 허수 기하학적 대상을 발견하게 된다.
...예를 들어, 직선 x = x₀와 두 점의 교차를 찾을 때, 직선이 실제로 원과 교차하면 y에 대해 두 개의 실수 해를 얻게 된다. 그렇지 않으면 그 해는 순수한 허수값이 된다.
...어떤 사람이 어둠 속에서 표면을 탐색할 때, 그 표면의 형태 를 인식할 수 없으며, 그 위상이 지역적으로 토러스형 이라는 사실도 모른다면, 그는 매우 혼란스러울 수 있다. 표면은 두 종류의 곡선으로 구분할 수 있다:
...각 곡선은 하나의 매개변수로 정의된다. 두 곡선이 교차하는 점 M은 두 값 (a, b)로 정확히 정의되며, 이는 M을 지나는 두 곡선의 값이다.
...첫 번째 곡선은 표면의 기하선이 아닌 원들로 구성되며, 단지 목의 원만을 제외하고는 기하선이 아니다. 두 번째 곡선은 이 원들과 수직인 쌍곡선 형태의 기하선들이다. 쌍곡선 곡선은 한 겹에서 다른 겹으로 넘어가는 내리막 경로를 떠올리게 한다. 마찬가지로 3차원 공간에서도 지역적으로 초토러스형 위상을 가질 수 있다. 이 경우 원들은 일련의 구로 대체되며, 그 중에서 면적이 최소인 목의 구 가 존재한다. 이 구들의 집합에 수직인 선들은 초토러스형 터널을 통해 한 겹에서 다른 겹(3차원 면)으로 넘어가는 내리막 경로를 형성한다.
...이 논의는 무의미한 것이 아니다. 이후 블랙홀 모델을 검토할 때 이 점을 다시 다룰 기회가 있을 것이다. 실제로 이 모델에서는 '이벤트 호라이즌의 내부'로 진입할 때, 입자의 질량이 ... 순수한 허수가 된다(그리고 이 외에도 많은 것이 그렇다). 이때 우리는 여전히 시공간 초표면 안에 있는지 의문을 제기할 수 있다. 특정 좌표계 (t, r, θ, φ)를 선택하는 것은 지역적으로 초구형 위상을 전제한다(반지름 r의 좌표가 슈바르츠실트 구의 반지름보다 작은 값을 가질 수 있음). 이 선택이 타당한가?
몇 년 전 유명한 천체물리학자는 이렇게 썼다:
- 우리는 블랙홀 내부에 대해 훨씬 더 많은 것을 알고 있다.
그러나 블랙홀이 실제로 존재한다면, 그 안에 내부가 존재하는가, 아니면 지역적으로 초토러스형 위상과 일치하는가?
...좌표계 선택이 어떤 영향을 미칠 수 있는지 이 예에서 알 수 있다. 기하학적 해는 존재한다. 그 해는 기하선을 가진다. 그러나 우리는 오직 우리의 정신적 표현 공간에 투영함으로써 이것을 '읽을' 수 있다. 이 공간은 유클리드 시공간이며, 상대성 이론조차 적용되지 않는다. 좌표계를 선택하는 것은, 즉, 읽는 방식이나 투영 방식을 선택하는 것이다. ...플라톤의 인물들처럼, 우리는 오직 '유클리드적 스크린' 위의 그림자만을 관찰할 수 있을 뿐이다. 그러나 그 '투영 시스템'의 적절한 목표를 선택해야 한다.
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