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기하학적 맥락.
...구는 2차원 공간이다. 한 점을 식별하려면 두 개의 매개변수가 필요하다. 이는 위상학(위상학이라는 용어의 의미에 대해 자세히는 벨린 출판사에서 출간한 내 만화 『톱로지콘』을 참고)을 갖춘 공간이다. 구는 토러스와 같은 위상 구조, 같은 '형태'를 가지지 않는다. 구는 지오데식을 갖는다. 두 점 M1과 M2를 연결하는 경로를 그릴 수 있으며, 이 경로를 따라 이동한 길이 s를 측정할 수 있다. 이 길이는 점들을 식별하는 데 사용하는 좌표계에 따라 달라지지 않으며, 표면을 가득 채운 지오데식도 마찬가지다.
...이 구의 중심을 모든 점들과 연결해보자. 그러면 무한한 반직선이 생긴다. 이 반직선들은 점들과 동일한 좌표계, 예를 들어 두 각도 q와 j로 식별할 수 있다.
위 그림은 우리의 구이다. 벡터 반지름들의 집합을 보여주기 위해 구에 구멍을 뚫었다.
이제 구를 제거하고 단지 벡터 반지름들만 남겨보자.
...이 반직선들은 잘라졌지만, 사실은 무한히 길다. 각각은 두 매개변수, 예를 들어 두 각도만으로 정의된다. 거리 구조는 사라졌다. 지오데식도 없고, 길이도 없다. 그럼 무엇이 남아 있는가?
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모든 반직선은 이웃한 반직선을 가진다. 이웃한 반직선들을 선택하여, 이 반직선을 어떤 종류의 원뿔 안에 둘러싸게 할 수 있다. 이 원뿔 내부에는 더 좁은 원뿔을 더 놓을 수 있으며, 그 안에 반직선이 포함된다. 이것은 동심원이나 러시아 인형과 비슷한 개념이지만, 반직선의 군을 사용한다. 그러나 이 원뿔 위에 지오데식을 그리는 것은 아니다. 각각의 모선은 단지 두 매개변수, 예를 들어 두 각도의 집합일 뿐이다.
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직관적인 '미분 가능성'의 개념이 구분된다. 이 '질감'에는 불연속성이 없다.
평면 표면을 생각해보자. 지오데식, 길이 등이 있다.
...어떤 좌표계를 선택하든, 점들의 위치를 항상 두 실수 (x,y), (r,q) 등으로 표현해야 한다.
이 실수들은 R², 즉 실수 쌍의 집합에서 선택된다. 예를 들어 (3.8705, -17.56)와 같은 쌍이다. 이 실수 쌍 공간의 모든 쌍은 이웃을 가진다. 이는 '연속적'이다.
이러한 '전거리적' 객체들은 다양체라고 불린다(수학자들은 보통 일반인에게 전혀 상징성이 없는 단어를 고르는 데 능하다).
...이 시점에서 우리는 n개의 실수로 이루어진 집합(또는 n차원 공간)을 거리나 지오데식과 자동으로 연결하지 않고도 고려할 수 있다.
...마치 점들이 이웃과 접촉을 유지하는 것 외에는 아무런 제약이 없는 표면을 생각하는 것과 같다. 이 표면은 무한히 유연하고 변형 가능하다. 관례적으로, 표면을 윤곽선(즉 경계 또는 시각적 윤곽)으로 표현할 때, 이 '움직이는' 다양체 개념을 단순히 윤곽선을 제거함으로써 표현한다:
...이 이미지는 사실상 물체의 그림자와 관련이 있다. 그리고 그림자는 질감도 없고, 형태도 없다. 그 기하학은 투영되는 물체에 따라 달라진다.
또한 다양체(manifold, 영어로는 manifold)를 거리 구조 없이 생각할 수 있다. 이는 직선들의 집합으로 볼 수 있다.
...여기서 직선들이 평행한 것처럼 보이지만, 실제로는 그 직선들이 어떻게 배열되든 상관없다. 다만 이웃 관계와 근접성은 유지되어야 한다.
...결국, 2차원 다양체 V2의 좋은 이미지는 먼저 삶은 후에 자유자재로 구부리고 비틀 수 있지만, 스파게티들 간의 순서는 바꾸지 않는 스파게티 뭉치이다.
어쨌든, 다양체 위에 두 겹의 덮개를 씌우는 연산을 수행할 수 있으며, 그림에 제시된 것처럼 각각에 거리 구조를 부여할 수 있다:
여기서 두 겹의 2차원 공간은 동일한 거리 구조(유클리드)를 갖는다. 그러나 다음도 가능하다:
...이 두 공간의 점 M과 M를 공액점이라고 부른다. 두 공액 공간이 다양체의 두 겹 덮개로 구성된다는 것은 단지 두 겹 F와 F 사이에 점-점 대응이 존재한다는 의미이다. 그러나 예를 들어 동치점 쌍(M1,M2), (M1, M2) 사이의 거리는 다를 수 있다. 유일한 제약은 두 겹의 점들의 이웃 관계가 일치해야 하며, 한 겹의 비특이 영역에 대해 다른 겹에서도 비특이 영역이 대응되어야 한다는 것이다.
...이제 우리는 이전에 언급한 유연한 뭉치의 스파게티를 다시 볼 수 있다. '다양체-골격' 구조는 단지 두 기하학적 객체 사이의 일대일 사상을 구성하기 위한 것이다. 위 그림은 단지 "두 겹 F와 F는 서로 어떻게 배열되어 있는가? 만약 F가 우주라면, F는 어디에 있는가?"와 같은 질문들을 완전히 제기하기 위한 것이다. 이 두 겹은 단지 점-점 대응이 있으며, 이 공액점들은 같은 좌표로 설명될 수 있다.
../../../bons_commande/bon_global.htm
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