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공액 곡률.
...세 차원 공간에서 국소 곡률이 양수 또는 음수라는 개념을 어떻게 이해할 수 있을까? 구를 생각해보자. 어느 지점에 못을 박는다. 길이 L인 실을 그에 고정하고, 다른 끝에는 연필을 고정한다. 그러면 평행선이 되는 원을 그릴 수 있다. 같은 작업을 평면과 말 등에 대해 수행해보자.
...평면에서는 둘레는 2πL이고, 원판의 면적은 πL²이다.
...구에서는 둘레와 캡의 면적이 작아진다. 말 등에서는 이 폐곡선으로 둘러싸인 둘레와 면적이 커진다. 예를 들어, 반지름 R인 구와 L이 적도 둘레의 1/4인 경우, 즉 πR/2인 경우를 생각해보자:
...원판의 면적은 구 캡의 면적보다 3.875배 크며, 둘레는 적도보다 1.57배 길다.
...표면에서 유사한 측정을 수행하면, 국소 곡률이 양수인지 음수인지 알 수 있다. 3차원에서도 동일한 상황이 성립한다. 이 경우 한 점을 취하고, 반지름 L인 실을 사용하여... 구를 그린다. 만약 이 구의 면적이 유클리드 면적 4πL²보다 작다면, 국소 곡률이 양수임을 결론지을 수 있다. 만약 이 면적이 유클리드 면적 4πL²보다 작다면, 국소 곡률이 음수임을 결론지을 수 있다. 부피에 대해서도 동일한 결론이 성립한다. 우리는 이러한 질적 개념에만 머무르자. 3차원과 4차원에서는 곡률 텐서로부터 계산되는 스칼라 곡률 이라는 길이 R을 정의할 수 있다.
...우리가 제시하는 우주론적 모델에서, 두 개의 우주 면을 공액으로 결합하기로 결정한다. 이때, 공액 점들에서의 국소 스칼라 곡률 값이 서로 반대가 되도록 한다:
R* = -R
...이는 사물들을 순수하게 기하학적으로 바라보는 방식이다. 이는 2차원에서 설명 가능한 도식적 이미지를 제공할 수 있다. 다만, 이러한 표현의 실제 의미에 대한 제한 사항은 고려해야 한다. 다음 그림이 그 예이다:
위에는 둥그스름한 포지코네. 원뿔의 몸통 부분에서는 국소 곡률이 0이며, 구 캡 부분에서는 양수이다.
아래에는 둥그스름한 네가코네. 네가코네의 몸통 부분에서는 곡률이 0이며, 말 등 부분에서는 음수이다.
...물체와 지오데식을 두 개의 유클리드 표현 공간에 투영하였다. 첫 번째는 면 F에 실제로 위치한 관측자에게 해당하며, 이 관측자는 질량 있는 물체는 볼 수 있지만, 면 F*에서 움직이는 입자-표본은 볼 수 없다.
...한 면에 있는 물체가 다른 면에 있는 관측자에게 보이지 않는 것은 순수하게 기하학적 성질이다. 광자는 각 면의 특별한 지오데식을 따르는 것으로 가정한다. 광자 j는 면 F(우리의 우주 면)를 따라 움직이며, 광자 j는 ‘유령 광자’(ghost photons)라 불릴 수 있는, 면 F의 ‘유령 우주’(ghost universe)를 따라 움직인다. 두 면이 서로 분리된, 연결되지 않은 집합을 이루기 때문에, 한 면의 광자는 다른 면으로 넘어갈 수 없다.
...이러한 기하학적 시스템의 작동 방식은 보이는 것보다 훨씬 간단하다.
...면 F는 자체 기하학을 가지며, 이는 ‘메트릭’ g 로 완전히 기술된다. 이 메트릭 g 로부터 지오데식 시스템을 구성할 수 있다. 이 메트릭 g 로부터 기하학적 텐서 S 를 구성하고, 이를 ‘장의 원천’인 텐서 T 와 동일시할 수 있으며, 아인슈타인 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다:
S = c T
두 번째 면의 기하학은 스칼라 곡률이 반대가 되도록 구성되며, 이는 메트릭 g* 로부터 구성된다. 곡률의 반대는 단순히 다음 식에서 유도된다:
S* = - S = -c T
...이는 g* = -g 라는 의미는 절대 아니다. 방정식은 비선형이다. 메트릭 g* 역시 지오데식을 생성한다.
...면 F의 지오데식을 고려하고, 다른 면에서 해당하는 공액 점들에 해당하는 곡선을 나타내보자. 이는 그 면의 지오데식이 아니다.
역으로:
...이제 우리는 어디에 있는가? *우리는 우주(면 F로 가정, 우리의 공간-시간)에 쌍둥이를 부여했다. *우리 우주에 존재하는 물질(텐서 T)은 그 기하학을 결정하지만, 동시에 쌍둥이의 기하학도 결정한다. 우리는 우리 우주가 양의 질량만을 포함하고, 일반적으로 양의 에너지를 가진 입자들만 존재한다고 가정한다. 우리는 공간-시간 면에 음의 질량이 존재할 가능성은 고려하지 않는다. 따라서 텐서 T 는 에너지-물질이 존재하는 곳에서는 양수이며, 진공 상태에서는 0이다. 따라서 면 F의 국소 곡률은 0이거나 양수일 수 있지만, 음수일 수는 없다.
...반면 면 F*의 곡률(이제는 ‘유도 곡률’이라 부른다)은 0이거나 음수일 수 있다.
...만약 이 면에 입자가 존재한다면, 이들은 역시 그 면의 지오데식을 따르는 것으로 가정한다. 위의 그림을 살펴보면, 회색으로 칠해진 물체, 즉 우리 우주(면 F)에 존재하는 질량은 면 F*에서는 반발하는 물체처럼 행동한다(지오데식의 곡률을 참고).
...우리는 이 ‘공액 메트릭 쌍’(g, g*)에 대응하는 정확한 수학적 해를 구축했다. [사이트에서: 논문 Geometrical Physics B 참조]. 해 g 는 우리가 외부(은하체 외부)와 내부(은하체 자체 내부)의 슈바르츠실트 메트릭이라 불렀던 것과 동일하다. 우리는 두 번째 메트릭을 ‘역-슈바르츠실트’라 부르고자 한다. [사이트에서: Geometrical Physics A, 7, 논문 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. 참조].
유령 물질이 있는 경우.
이 공액 기하학적 관점에서 상황을 뒤바꿔, 면 F에 질량(양의)이 존재한다고 가정해보자. 이는 면 F에서 양의 곡률을 생성하며, 이 기하학의 2차원 도식적 표현은 둥그스름한 원뿔, 즉 슈바르츠실트 해를 나타내지만, 면 F*에서의 해이다.
...다른 면의 관측자가 이 질량이 자신의 우주를 따라 움직이는 입자-표본에 미치는 영향을 어떻게 인식하는지에 대해서도 동일한 주의를 기울여야 한다.
...위의 그림을 검토함으로써, 두 번째 우주인 유령 우주(ghost universe)에 존재하는 유령 물질(ghost-matter)과 물질 사이의 상호작용 법칙을 도출할 수 있다.
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두 물질 입자는 서로 끌어당긴다.
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두 유령 물질 입자는 서로 끌어당긴다.
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물질과 유령 물질은 서로 밀어낸다.
...이는 수리아우가 제안한 모델과 다르다. 수리아우의 모델에서는 두 번째 종류의 입자가 우리 물질을 밀어내는 것뿐만 아니라, 서로도 밀어낸다.
...두 번째 기하학은 면 F에 양의 질량 m이 존재함을 나타낸다. 이 면에서는 물질 밀도 ρ* > 0(또는 더 정확히는 유령 에너지-물질, 왜냐하면 두 번째 면인 유령 우주에는 ‘유령 복사’, 유령 광자, 유령 중성미자도 존재하기 때문이다)를 정의할 수 있다. 유령 입자의 에너지는 양이며, 압력 p* 역시 양이다.
...이 값들을 바탕으로 유령 에너지-물질 텐서 T* 를 구성할 수 있다(에너지-물질 텐서는 약간 더 복잡하지만, 일반적인 목적에는 이와 같은 간단한 설명이 충분하다).
면 F*에서 기하학을 결정하는 장 방정식은:
S* = c T*
면 F*의 기하학을 결정하는 방정식은:
S = -c T*
...이는 이전의 두 방정식이 뒤바뀐 것이다. 면 F에서는 기하학이 유도된다는 의미이다. 즉, 면 F에 존재하는 질량 M에 의해 생성되며, 따라서 면 F에서는 보이지 않는다.
...이제 두 면이 각각 밀도 ρ와 ρ*인 자체 물질로 채워져 있다고 가정할 수 있다.
이 경우 공액 메트릭은 다음 방정식계로부터 도출된다:
S = c (T - T*)
S* = c (T* - T)
이로 인해 곡률이 반대가 되며:
R* = -R
따라서 이러한 우주는 각 면에서 양수, 음수, 또는 0인 곡률을 가질 수 있다.
만약 면 F에서 국소 곡률이 양수라면:
T > T* 또는 ρ > ρ*
그리고 이는 면 F*의 인접한, 공액된 영역에서 음수가 된다.
만약 면 F에서 국소 곡률이 음수라면:
T < T* 또는 ρ < ρ*
그리고 이는 면 F*의 인접한, 공액된 영역에서 양수가 된다.
만약 면 F의 어떤 영역에서 곡률이 0이라면, 면 F*에서도 0이 된다. 이는 다음 두 경우 중 하나를 의미한다:
-
T = T* = 0 (두 영역 모두 진공 상태)
-
T = T* (ρ = ρ*)
뉴턴과 역-뉴턴.
뉴턴 법칙은 아인슈타인 방정식에서 다음 조건을 가정함으로써 도출된다:
-
국소 곡률이 작다.
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속도가 빛의 속도보다 작다.
-
시스템이 ‘ quasi-stationary’(우주론적으로 말해)이다.
...이러한 조건 하에서, 앞서 제시한 결합된 장 방정식계로부터도 동일하게 도출된다. 참고: J.P. Petit and P. Midy: Matter ghost matter astrophysics. 1: The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. [사이트에서: Geometrical Physics A, 4, 1998, section 4 참조].
따라서 다음과 같은 역학이 성립한다:
-
두 물질 입자 m1과 m2는 뉴턴 법칙에 따라 서로 끌어당긴다.
-
두 유령 물질 입자, 즉 ‘유령 물질’ m1과 m2는 뉴턴 법칙에 따라 서로 끌어당긴다.
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서로 다른 면에 있는 두 입자 m과 m*는 ‘역-뉴턴’ 법칙에 따라 서로 밀어낸다.
일반 상대성 이론 검증에 관하여.
...이 모델은 이러한 검증과 모순되지 않는다. 실제로 물질과 유령 물질이 서로 밀어내기 때문에, 물질이 집중된 지역(예: 우리 은하)에서는 인접한, 공액된 유령 우주의 영역이 진공 상태가 된다. 물질이 유령 질량들을 멀리 밀어내어 청소했기 때문이다.
태양 근처에서는 텐서 T* (유령 물질)가 T (물질)에 비해 무시할 수 있을 정도로 작으며, 장 방정식은 다음과 같이 된다:
S ≈ c T
즉, 아인슈타인 방정식이 되며, 이는 ‘쌍둥이’ 방정식의 근사 형태로 볼 수 있다.
기하학 부분의 결론.
...이제 새로운 아이디어를 실현할 준비가 되었다. 즉, 우리가 관측할 수는 없지만, 중력장에 미치는 작용을 통해 존재를 드러내는 유령 우주와 지속적인 상호작용을 하는 우주.
...논문: "J.P. Petit and P. Midy: Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3: Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [사이트에서: Geometrical Physics B, 1-3, 1998]"에서, 쌍둥이 구조는 다른 방식으로 접근된다. 즉, 군 이론(쌍둥이 군)을 통해 접근한다. 특히, 물질-반물질 이중성이 두 면 모두에서 존재함을 알 수 있다. 유령 우주에서는 유령 물질과 반-유령 물질이 존재한다.
...우리는 뉴턴 근사를 알고 있다. 따라서 수치 시뮬레이션을 수행할 수 있으며, 해석적 해를 구하는 시도도 할 수 있다. 또한 완전성을 위해, 두 우주에 영향을 주는 쌍둥이 빅뱅(Twin Bang)이라는 우주 진화 모델도 제시해야 할 것이다.
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