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측지선의 개념.
...앞으로 이어지는 모든 내용에서 우리는 오직 2차원 곡면만을 다룰 것이다. 독자가 이 글을 읽기 전에 약간의 도구를 준비해 두는 것이 좋겠다. 실제로 실험을 해 보면서 "손으로 이해하는" 것들이 있기 때문이다. 따라서 다음이 필요하다:
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두꺼운 도화지 또는 다소 두꺼운 종이.
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접착 테이프, 가능하면 색이 있는 것.
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가위.
...시중에는 특히 편리한 "천 테이프"가 판매되는데, 이는 임의의 폭으로 풀어낼 수 있다는 장점이 있다.
...하나의 곡면, 예를 들어 당신의 자동차 차체를 잡아라. 테이프가 주름지지 않고 항상 지지면에 완전히 달라붙도록 조정하면서 그 위에 테이프 한 조각을 붙일 수 있다. 그렇게 하면 당신은 "자동차 곡면"의 측지선을 그리게 된다.
...평평한 곡면 위에서 이 작업을 하면.. 직선을 얻게 된다. 직선은 평면의 측지선이다.
...세 개의 측지선으로 이 평면, 즉 "유클리드 곡면" 위에 삼각형을 그릴 수 있으며, 이 평면의 각의 합은 180°가 된다.
포지콘.
이제 "포지콘"을 만들어 보자. 그러기 위해서는 각도 q만큼 잘라내고 그림과 같이 곡면을 다시 붙인다.
...접착 테이프로 두 개의 측지 삼각형을 그리되, 하나는 이 포지콘의 꼭짓점 S 바깥에 두고 다른 하나는 이 꼭짓점 S를 포함하도록 한다. 삼각형의 각의 합을 측정하라. 그러면 꼭짓점을 포함하지 않는 삼각형의 각의 합은 180°로 남아 있는 반면, 다른 삼각형의 각의 합은 180°+q가 됨을 확인하게 된다.
이를 확인하려면 이 "포지콘"을 다시 펼쳐서 평평하게 놓기만 하면 된다. 그러면 다음과 같은 것을 얻게 될 것이다:
...그러면 직선 AH와 H'B가 각도 q를 이룬다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. "실험적으로" 확인할 수 있듯이, 원뿔의 측지선은 평면으로 펼친 후에는 평면의 직선이 되는데, 이는 단순히 원뿔이 전개 가능한 곡면임을 의미한다. 원기둥도 마찬가지다.
...전개 가능한 곡면은 평면 위로 굴릴 수 있는 곡면이기도 하다(뒤에서 보게 되겠지만, 음의 곡률을 가진 전개 가능한 곡면의 경우에는 몇 가지 주의가 필요하다).
...원뿔이나 원기둥 위에 유성 잉크로 측지선을 그리면, 이 "모형"을 이용해 평면 위에 "인쇄"할 수 있으며, 그 경우 직선을 얻게 된다. 그리고 반대로, 평면 위에 유성 잉크로 직선을 새기고 이 물체들을 평면 위로 굴리면서 원뿔이나 원기둥 위에 "인쇄"하면, 인쇄된 것은... 측지선이 된다.
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. 2004년 7월 1일 이후 이 페이지의 조회수: