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곡률(양의 곡률).
...우리가 평면에 측지선으로 이루어진 삼각형을 그렸을 때, 그 꼭짓점 각들의 합은 π였습니다. 평면은 '곡률이 없는' 유클리드 평면입니다. 따라서 이 삼각형의 각들의 합은 유클리드 기하학에서의 합입니다. 이전 실험에서 우리는 삼각형이 원뿔의 꼭짓점을 포함하지 않으면 각들의 합이 유클리드 기하학의 합과 동일하다는 것을 확인했습니다. 반면, 삼각형이 꼭짓점 S를 포함하면, 어떤 삼각형이든 이 점을 포함하는 한 각들의 합에 초과분 q가 발생합니다. 우리는 원뿔의 꼭짓점을 집중 곡률점이라고 부릅니다.
...이제 다른 실험으로 넘어갈 수 있습니다. q1과 q2만큼 잘라낸 두 개의 원뿔을 만든 후, 이 두 표면 요소를 서로 붙일 수 있습니다.
...더 간단한 방법은 두꺼운 종이 한 장에 두 개의 절개를 넣고 다음 표면을 만드는 것입니다:
이 표면 위에 원하는 만큼 측지선 삼각형을 그릴 수 있습니다:
- S1과 S2를 모두 포함하지 않는 경우: 각들의 합 = π
- S1만 포함하는 경우: 각들의 합 = π + q1
- S2만 포함하는 경우: 각들의 합 = π + q2
- 두 점 S1과 S2를 모두 포함하는 경우: 각들의 합 = π + q1 + q2
...각도가 Dq로 매우 작은 미니 원뿔을 많이 만들어 서로 겹쳐 붙일 수 있음을 쉽게 상상할 수 있습니다. 이러한 미니 원뿔의 각 꼭짓점에 해당하는 Dq들의 합을 곡률로 간주함으로써, 단위 면적당 일정한 곡률 밀도를 갖도록 할 수도 있습니다.
...이 미니 원뿔들을 점점 더 작게 만들고(이와 함께 그에 대응하는 기본 각도 Dq도 작아짐), 이를 통해 일정한 곡률 밀도를 가진 표면 부분을 구성할 수 있습니다.
구(球)는 곡률 밀도가 일정한 표면입니다. 더 간단히 말하면 국소 곡률이 일정한 표면이라고 할 수 있습니다.
달걀은 곡률이 있는 표면으로, 곡률 밀도가 변하는 표면입니다. 더 간단히 말하면 국소 곡률이 변하는 표면이라고 할 수 있습니다.
...일반 상대성 이론은 밀도 ρ와 국소 곡률을 동일시하는 것입니다. 물론 일반 상대성 이론은 2차원 표면이나 심지어 3차원 표면을 다루는 것이 아니라, 4차원 초표면을 다룹니다. 따라서 지금까지의 설명에 과도한 의미를 부여해서는 안 되며, 이러한 그림들은 개념을 고정시키기 위한 교육적 이미지로만 고려해야 합니다. 하지만 이들도 그리 나쁘지 않습니다.
천체의 2차원 교육적 이미지.
태양과 같은 천체는 물질의 집중체이며, 진공은 아니더라도 거의 진공 상태(따라서 곡률이 매우 약한 영역)로 둘러싸여 있습니다. 2차원에서의 교육적 이미지는 끝이 둥근 원뿔(절두원뿔) 형태가 될 것입니다.
...끝이 둥근 원뿔은 두 가지 요소로 만들어집니다: 곡률이 일정한(또는 '곡률 밀도가 일정한') 구면 캡과 원뿔대. 이 원뿔대는 '평평'하며, 그 곡률 밀도는 0입니다. 이는 유클리드 표면입니다. 이는 밀도 ρ가 일정한 천체의 2차원 교육적 이미지입니다.
...한편, 접평면이 연속되도록 원뿔대와 구면 캡을 완벽하게 연결하는 방법이 궁금할 수 있습니다.
...이는 간단합니다. 원뿔대는 원뿔에서 만들어지며, 이는 각도 q만큼의 절개를 포함합니다. 구면 캡은 일정한 '곡률량'을 포함하며, 이는 각도입니다. 이는 구면 캡을 구성하는 모든 미니 원뿔들의 각도들의 합입니다. 이 두 각도는 같아야 합니다.
하지만 주어진 구면 캡에 포함된 곡률량을 어떻게 평가할 수 있을까요?
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