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총곡률.
...우리는 미니 포지콘들을 나란히 붙여서 구를 만들 수 있다. 그러나 이 작업 과정에서, 곡률(또는 곡률 밀도 또는 국소 곡률)이 일정한 이 표면은 닫히게 된다. 따라서 그것은 일정한 곡률을 포함하는데, 어느 정도일까?
...구 위에 측지 삼각형을 그리면, 그것은 일정한 수의 미니 포지콘들, 즉 일정한 "곡률의 양"을 둘러싸게 되며, 이는 하나의 각도이다. 이것은 단순히 삼각형의 면적에 비례하며, 더 정확히는 삼각형의 면적 s와 구의 면적 S 사이의 비율에 비례한다.
...그러나 우리는 위에서, 포지콘들을 붙여 만든 표면 위에 측지 삼각형을 그릴 때, 유클리드 합과의 차이가 우리 삼각형에 포함된 각 원뿔의 꼭짓점과 관련된 집중 곡률들의 합과 같다는 것을 보았다. 따라서 위의 삼각형, 즉 세 개의 구 측지 호로 만들어진 삼각형의 각도 a, b, g의 합을 측정하는 것만으로도 이 삼각형에 포함된 각도 곡률의 양을 측정할 수 있다. 구의 측지선은 구의 "대원"이다.
...우리의 구를 여덟 개의 동일한 부분으로 자르자. 그러면 측지 호로 구성된 여덟 개의 삼각형을 얻게 되며, 그 세 각은 모두 직각이 된다.
...따라서 이 삼각형들 각각은 p/2에 해당하는 곡률을 포함한다. 여덟 개가 있으므로, 구의 총곡률은 4p가 된다.
...이 작은 언급은 극히 단순한 추론으로 기하학적 결과를 구성할 수 있음을 보여주기 위한 것이다.
...무디게 된 원뿔이라는 주제로 돌아가면, 물체의 측면이 "내부에 포함된" 곡률의 양에 달려 있음을 알 수 있으며, 이 곡률은 점적(원뿔점)일 수도 있고 구면 캡 위에 분포할 수도 있다. 캡을 동차적으로 축소하여(항상 동일한 "곡률의 양"을 포함하도록) 한 점을 향해 수렴시킬 수 있다.
궤적.
...일반 상대성 이론에서 핵심 개념은 간단하다. 물체, 입자, 광자 또는 물질의 궤적을 측지선으로 간주하는 것이다. 물론 그것들은 4차원 초곡면의 측지선이다. 따라서 여기에서도 우리는 교수학적 이미지들만 가지고 있을 뿐이다.
우리의 무디게 된 원뿔을 가져다가 그 위에 측지선을 그릴 수 있고, 그것들을 평면에 투영할 수 있다.
...모든 입자는 초곡면의 측지선을 따른다. 물질 입자뿐만 아니라 광자와 중성미자도 마찬가지다. 그렇기 때문에 우리는 물체를 완전히 관통하는 측지선을 그려 보는 재미를 가졌다. 중성미자는 아무 문제 없이 태양을 통과할 수 있다.
...그런데 이 측지선들을 투영하는 이 평면이란 무엇인가? 그것은 우리가 공간을 표현하는 방식이다. 우리의 "정신적 우주"는 완전히 유클리드적이고 우리의 사고는 "평평"하다. 우리가 혜성이 태양을 스쳐 지나가는 것을 볼 때, 사실 그것은 "똑바로" 가는 것, 즉 초곡면의 측지선을 따르는 것이라는 생각은 결코 떠오르지 않을 것이다. 우리의 세계 인식은 그림 24'이며, 여기서 천체는 그 주변을 지나가는 물체를 "끌어당긴다".
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