| 7 |
공액 기하학.
...그러면 우리는 같은 양의 곡률을 가지지만 부호가 반대인, 즉 +q와 -q를 갖는, 하나의 무딘 포지콘과 하나의 "무딘 네가콘"을 연관시킬 것이다. 이것들을 서로 마주 보게 놓을 수 있다(그 과정에서 "점 대 점 대응", 즉 일대일이고 단사인 대응을 만들어 내면서). 그러면 두 개의 겹이 생긴다. 이것들을 F와 F*라고 부르자. F의 모든 점에는 F*의 한 점이 대응한다.
...곡률을 지니는(한 겹에서는 양, 다른 겹에서는 음) "무딘 부분"의 원형 윤곽들이 점 대응하도록 궁리하자. 이것은 전체를 평면에 투영함으로써 예시된다. 그러면 공액 곡률을 가진 두 표면이 얻어진다.
...원뿔 옆면들은 "곡률이 없으며", 유클리드 표면의 요소들이다. 이 표면들의 모든 점에서 국소 곡률은 0이라고 말할 것이다. 구면 캡과 말안장은 점 대응한다. 그 곡률들은 반대이다.
일반 상대성.
...출발점은 우주의 기하학이 그 "에너지-물질" 내용에 의해 결정된다는 생각이다. 우리는 물질만이 아니라 에너지-물질이라는 말을 쓴다는 점에 주목하자. 이는 모든 우주적 내용이, 복사와 광자(또는 중성미자)를 포함하여, 기하학에 영향을 미친다는 것을 잘 보여 준다. 우리는 위에서 광자가 공간에 작은 양의 곡률을 만든다는 것을 보았다.
...먼저 정상 상태로 논하자. 자유로운 평면은 장력이 0인 표면이다. 양 또는 음의 장력(부호는 관례의 문제이다)을 만들어 그 기하학을 바꿀 수 있다. 예를 들어 플라스틱 필름을 가열하면 그곳에 물집, 즉 양의 곡률을 가진 영역을 생기게 할 수 있다.
...또한 종이 위에 마르면서 수축할 물질을 바를 수도 있다. 장력은 음의 곡률을 가진 영역을 생기게 할 것이다.
...판금 성형공은 이런 장력을 이용해 철판을 변형시킬 줄 안다. 예를 들어 금속 관을 하나 잡자. 한쪽은 가열하고 다른 쪽은 냉각한다. 무슨 일이 일어날까?
관은 휘어질 것이다. 가열된 부분은 팽창하고 냉각된 부분은 수축한다.
...그렇게 함으로써 우리는 금속 안에 장력을 만들었다. 이것이 수학과 기하학에서 텐서라는 단어의 기원이다. 재료 역학 전문가는 응력 텐서를 말할 것이다. 기하학자는 곡률 텐서를 말할 것이다.
위의 작은 실험은 다음 생각을 예시한다:
국소적 에너지 내용 -----> 국소적 기하학
...일반 상대성에서도 마찬가지로 한다. 차이는 이 국소적 에너지-물질 내용이, 여기서처럼 2차원 표면의 기하학이 아니라, 4차원 초곡면의 기하학을 결정한다는 것이다. 그러나 생각은 비슷하다.
...그러면 수학자는 텐서 표기를 사용할 것이다. 비수학자에게 여기서 더 말할 수는 거의 없다. 그러나 아인슈타인 텐서 S(굵은 글자를 사용할 것이다)는 기하학적 측면에 해당한다. 아인슈타인 방정식에서 그것은 에너지-물질 내용을 기술하는 또 다른 텐서 T와, 곱셈 상수인 "아인슈타인 상수 c"를 제외하고는, 동일시된다.
그러므로 유명한 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 쓰인다:
S = c T
...텐서 T에는 밀도 r과 압력 p가 들어간다(사실 가장 일반적인 텐서 T는 더 복잡하지만, 우리는 흔히 쓰이는 이 표현으로 만족하겠다). 따라서 정상 상태의 배치에서는 밀도와 압력의 어떤 분포 r(x,y,z), p(x,y,z)를 주게 된다. 이것으로 문제의 모든 데이터를 담은 텐서 T를 구성하는 법을 안다. 그렇다면 문제는 "위 방정식을 만족하면서 이 텐서 T와 어울리는 기하학은 무엇인가?"이다.
...다시 말해, 물리학자는 우주의 국소적 내용을 알고 우주 초곡면의 기하학을 결정하려 한다.
기하학이라고 하면 측지선이다. 여기서 일반 상대성의 두 번째 가설이 개입한다:
우주를 지나는 물체들은 시공간 초곡면의 측지선을 따른다고 가정한다.
물체란 (소위 기본 입자라 불리는) 입자, 광자, 중성미자를 뜻하지만 행성, 항성 등도 뜻한다....
이 단계에서 한 가지 언급: 이 모든 일에서 입자들은 어디에 있는가?
...답: 일반 상대성 전문가는 거시적인 것을 다룬다. 문제의 입력 함수인 밀도 r과 압력 p는 우주 내용의 거시적 기술에 해당한다. "출력"도 마찬가지다. 그리고 기하학자가 덧붙인다:
- 당신은 나에게 함수 r(x,y,z)와 p(x,y,z)를 주었고, 나는 그에 맞는 초곡면을, 그 측지선 족들과 함께 만들어 주었다. 그러나 그 이상은 할 수 없다. 특히 나는 당신을 위해 입자나 원자 따위를 만들어 낼 수 없다. 그것은 다른 부서에 가 보라...
분명히 말하면: 일반 상대성과 입자 물리학 사이의 다리는 아직 놓이지 않았다.
그러나 천문학자는 이렇게 외칠 것이다:
- 무슨 상관인가. 광자가 이 초곡면의 특정 측지선을 따른다는 이 가설은 작동한다. 증거: 나는 관측을 할 수 있다. 행성들을 점질량으로 간주하여 그것들도 이 초곡면의 측지선을 따른다고 가정하면, 그 궤적을 구성할 수 있다. 중력 렌즈 효과도 있다....
그는 옳다.
...이 중력 렌즈 효과에 대해 몇 마디 하자. 물론 이 무딘 원뿔 이미지는 교수학적 이미지일 뿐이다. 항성 주위를 원형으로 도는 행성도 시공간의 측지선을 따른다. 그런데 무딘 원뿔 위에 그린 원은 측지선이 아니다:
이는 교수학적 이미지의 한계를, 그것이 기하학적일지라도, 그저 보여 줄 뿐이다.
...광자는 실제로 시공간 초곡면의 측지선을 따른다. 이것을 예시하기 위해 무딘 원뿔 이미지를 사용할 수 있다. 빛줄기는 거대한 물체의 양쪽을 지나 관측자 쪽으로 수렴할 수 있다. 이 측지선들을 투영하면 신기루 효과가 얻어진다. 관측자는 하나 대신 두 개의 광원이 있는 것처럼 느낄 것이다:
2004년 7월 1일 이후 이 페이지의 조회수: