| 8 |
좌표 변환에 대한 불변성.
...이것은 일반 상대성 이론의 핵심 개념이지만, 설명하기가 쉽지 않다. 우리는 "우주론적 해법"을 찾는 것, 즉 정상 상태이든 비정상 상태이든, 그것이 "장 방정식의 해"가 되는 4차원 초곡면을 구성하는 것과 같다고 말했다.
...예를 들어 구의 위상 구조를 가진 철판 물체를 생각해 보자. 그것은 "철판으로 된 구"이다. 여기서도 국소적으로 가열하고 냉각하여 이 표면을 변형시킬 수 있다고 상상하기는 쉽다. 예를 들어 한 점을 가열하고 대척점 영역을 냉각하면 이 구를 달걀 모양으로 바꿀 수 있다. 달걀은 구의 위상 구조를 가진 물체이지만, 곡률이 변하는 표면이다.
...한 곳을 가열하고 다른 곳을 냉각하면 금속에 장력이 생긴다. 물론 이 재료는 전도체이므로 가열과 냉각을 멈추면 온도가 균일해지고 물체는 구형으로 돌아간다. 중요한 것은 불균일한 온도 장을 가진 정상 상태를 만들어낼 수 있다는 점이다. 이 장은 장력을 발생시키며, 이 장력을 텐서라고 불리는 수학적 대상 T의 형태로 구체화할 수 있다.
무언가가 물체의 기하학을 기술한다. 이것을 계량이라고 한다. 이 두 번째 수학적 대상으로부터 다음을 할 수 있다:
-
기하학적 텐서 S 계산
-
표면의 측지선 계산.
이 표면의 기하학은 아인슈타인 방정식과 유사한 방정식, 예를 들어 다음과 같은 형태로 계산할 수 있다:
S = a T
여기서 a는 상수이다. 철판 내의 온도 장, 즉 장력 텐서를 선험적으로 알면 그 기하학을 추론할 수 있다. 이 기하학을 "읽는" 가장 좋은 방법은 측지선 체계를 분석하는 것이다. 우리는 구의 측지선(그 "대원")을 알고 있다. 달걀의 측지선은 다르다.
...이 측지선을 기술하려면 표면에 좌표계를 정의해야 한다. 구의 경우 고전적인 방위각-고도 시스템을 사용할 수 있다.
...이 특정 좌표계에서 구의 측지선은 특정 방정식에 해당한다.
이 구에서 q = 상수 곡선은 두 점을 지나는 측지선족을 나타낸다. 반면 j = 상수 곡선(위선)은 표면의 측지선이 아니다.
...유사한 좌표계를 정의하고 "달걀" 표면의 측지선 방정식을 쓸 수도 있다. 그러나 즉시 본질적인 것을 알아차린다: 표면의 측지선은 그것을 기술하기 위해 선택한 좌표와 무관하다, 마찬가지로 구나 달걀의 점들은 그것을 찾기 위해 사용된 좌표계와 무관하게 존재한다.
...마찬가지로 평면에서 점들을 직교 좌표나 극좌표로 나타낼 수 있다. 평면의 직선은 측지선이다.
직선은 두 좌표계에서 기술될 수 있다:
...그것은 동일한 측지선이며, 두 가지 전혀 다른 기술이다. 평면의 직선은 그것을 기술하는 방식, 사용된 좌표의 선택과 무관하게 존재한다. 그리고 우리는... 무한히 많은 것을 상상할 수 있다.
...그렇다면 무엇이 내재적인가? 답: 직선 위에서(또는 어떤 곡선 윤곽을 따라) 측정된 길이 s. 표면의 두 점 M1과 M2 사이에서 최소 길이의 경로는 측지선이다.
...마찬가지로 "구"나 "달걀" 물체의 측지선 위에서 두 점을 분리하는 거리도 선택된 좌표계와 무관한 크기이다. 표면에서 두 점 M1과 M2를 잡고 그들을 잇는 측지선 호를 그리면, 이 호를 따라 측정된 길이 s는 점들을 찾기 위해 사용된 좌표계가 무엇이든 동일할 것이다.
...우리가 "우주"라고 부르는 4차원 초곡면도 마찬가지이다. 그것은 좌표 변환에 의해서도 불변인 측지선 체계를 가지고 있다. 우리는 위치 좌표와 시간 좌표를 가진 (x, y, z, t) 공간에 사는 것이 아니라, 측지선 망으로 완전히 기술될 수 있는 4차원 초곡면에 살고 있다. 이 측지선 위에는 좌표 변환에 의해서도 불변인 길이 s가 존재한다. 이 초곡면의 점들은 더 이상 공간의 점들이 아니라 시공간 초곡면의 점들이다. 그것들을 사건이라고 부른다. 따라서 두 개의 구별되는 사건은 s라고 불리는 무언가에 의해 분리된다. 그러나 그것은 도대체 무엇인가?
그것은 고유 시간이다.
...이 시공간 초곡면에서 측지선 궤적은 두 사건 M1과 M2를 분리한다. 내가 말할 수 있는 전부는 만약 내가 이 시공간 여정을 하기 위해 탈것을 사용했다면, 내 탑재 시계에서 s의 시간이 흘렀을 것이라는 점이다.
좌표의 선택은 시공간의 점들을 공간 좌표 (x, y, z)와 시간 좌표 t로 찾는 것으로 구성된다. 그러나 이 선택은 임의적이므로 이 공간과 시간은 내재적 존재를 갖지 않는다. 그것들은 표면을 "읽는" 방식, 표면을 주유하는 방식일 뿐이다. 유일한 제약: 만들어진 가설에 따라 측지선을 따라서만 이동할 수 있으며, 그 위에서 의지할 수 있는 유일하게 신뢰할 수 있는 것은 "흐른 고유 시간" s이지, 단순한 연대 표지인 이 시간 t가 아니다.
좌표계의 각 선택에 대해, 사건과 현상의 서로 다른 읽기 체계가 있다.
...따라서 물리학자들은 좌표 선택과 무관한 형식 체계를 찾았다. 그것이 텐서 형식 체계의 본질이다. 비교적 복잡한 기술적 세부 사항에 들어가지 않고서는 이 주제에 대해 더 말할 수 없다.
특이점 문제.
구에서 고전적인 각도 좌표의 선택은 두 개의 극 특이점을 도입한다.
이런 종류의 극 특이점을 도입하지 않고는 구를 지도화할 수 없다.
...구를 단일 특이점으로 지도화할 수 있다는 점을 유의하라. 아래와 같이 평면으로 절단하여 구 위에 첫 번째 곡선족(원들)을 만든다:
그런 다음 두 번째 곡선족:
이 유일한 특이점 외에는 문제가 없다. 이 구를 반대편에서 보면 다음과 같다:
...유일한 특이점 S 외에는 점들을 어려움 없이 찾을 수 있다. 그러나 이 격자 특이점 S를 정의하는 매개변수 a와 b의 값은.... 아무거나...
...그러나 구는 기하학적으로, 내재적으로 특이하지 않다. 당구공이나 달걀을 아무 방향으로나 돌려 보아도 어떤 특이점도 발견하지 못할 것이다.
따라서 이 특이점들은 좌표의 선택에 의해 만들어진 것이다.
과학 안내로 돌아가기 2004년 7월 1일 이후 이 페이지의 조회수 :