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반면에, 진정한 기하학적 특이점들이 존재할 것이다:
등등....
..덧붙여, 주름은 표면의 특별한 영역으로서 선곡률을 포함하는데, 왼쪽에서는 음이고 오른쪽에서는 양이다. 의도적으로 이 두 표면은 구면 캡으로 만들어졌다. 최종 물체는 구의 위상을 가진다. 따라서 총곡률이 4p와 같다. 왼쪽 물체가 (같은 반지름의 구에서 출발하여) 구의 4분의 3 두 개로 만들어졌다고 가정하자. 이 구성 요소들은 각각 3p의 곡률에 해당한다. 합계 6p. 따라서 주름이 얼마나 많은 (음의) 곡률을 포함하는지 즉시 알 수 있다: -2p. 이것은 원형 주름을 따라 균일하게 분포된다. 따라서 삼각형 ABC의 각의 합을 계산할 수 있다. 그 면적을 측정함으로써 우선 그것이 포함하는 곡률(각도)의 양을 알 수 있다. 그것은:
호 mn에 포함된 곡률의 양을 빼야 한다. 그것은:
렌즈도 구의 위상을 가진다. 따라서 주름은 2p와 같은 양의 선곡률을 포함한다.
...이상한 삼각형 ABC의 각의 합도 계산할 수 있는데, 이 삼각형은 세 개의 측지선으로 구성된다. 측지선은 주름을 거리낌 없이 넘는다. 여러분은 그저 접착 테이프로 실험해 보기만 하면 된다.
호 mn은 선곡률을 포함한다: 위에 표시된 렌즈 같은 것이 동일한 구의 4분의 1 두 개로 만들어졌다고 가정하자. 각각은 p와 같은 곡률을 포함한다. 따라서 표면(주름 제외)에는 곡률 2p가 포함된다.
...삼각형 ABC와 주름 호에 포함된 각도 곡률을 합산함으로써 유클리드 합 p로부터의 (양의) 편차를 알 수 있다.
표면의 경우 이러한 곡률 문제를 가지고 상당히 쉽게 요술을 부릴 수 있음을 알 수 있다.
...표면은 특이점이나 주름을 포함할 수 있다. 이 경우 그것은 좌표 선택에서 비롯된 것이 아니라 실제로 기하학적이고 내재적인 특이점이다.
...덧붙여, 이 선곡률은 표면의 일부에 분포될 수 있다는 점을 유의하자. 예를 들어, 왼쪽 그림의 경우 다음을 얻을 것이다:
...이것은 원뿔의 꼭짓점에 집중된 곡률이 구면 캡(무딘 원뿔)에 분포되었던, 위에서 제시된 것과 유사한 접근법이다. 위의 표면을 구성하는 두 구면 캡이 예를 들어 각각 구의 3분의 2를 나타낸다면, 즉 곡률이
회색으로 표시된 표면은 균일하게 분포된 음의 곡률 C를 포함할 것이며, 다음과 같다:
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