| 10 |
공간
표현.
...우리는 원통이 전개 가능한 곡면이라는 것을 보았다. 이제 종이 한 장을 가져보자. 이것은 평평한 유클리드 곡면이다. 그 측지선은 직선이다. 이 종이 위에 몇 개의 직선을 그린 다음, 그것을 구겨 보자.
...만약 이 구겨진 평면을 경화시킬 수 있다면, 이 작업이 그 측지선의 분포를 전혀 바꾸지 않았다는 것을, 즉 여러분이 다시 테이프로 그릴 수 있다는 것을 깨닫게 될 것이다. 여러분은 단지 3차원 매장 공간에서 이 평면의 표현 방식을 가지고 놀았을 뿐이다.
덜 복잡한 방법은 철판을...골판으로 변형시키는 것이다:
측지선: 변함없음.
...기하학적 대상은 우리가 그것을 표상하는 방식과 무관하게, 그것의 표현 공간 과 무관하게 존재한다.
...우리는 "4차원 초곡면", 즉 시공간에 살고 있다고 여겨진다. 일반 상대성 이론은 장 방정식의 해로서 그 기하학을 구성하려고 시도한 다음, 초곡면의 측지선을 분석함으로써 이 기하학을 "읽는" 것으로 이루어진다. 그때에는 더 이상 표현 공간에 대한 문제가 아니라는 것은 분명하다. 그러기 위해서는 우리가 가지고 있지 않은 5차원에서의 시각을 갖추어야 할 것이다.
...실제로 우리는 유클리드 투영 공간의 좌표를 사용한다. 거대한 물체 근처와 그 내부의 시공간을 기술하는 데 적합한 기하학적 해를 찾고 있다고 상상해 보자. 우리는 계가 구면 대칭을 가진다고 가정할 것이다. 또한 이 계가 정상적(또는 준정상적)이라고 가정할 것이다.
...그러면 우리는 구면 좌표 (r, q, j)를 사용할 것이다. 2차원에서는 두 개만 필요하고 우리의 대칭은 원형일 것이다. 그러면 우리는 평면의 극좌표계를 사용할 것이다:
...이 둔한 물체 모델은 일반 상대성 이론에 실제로 존재하는 정상 해의 2차원 교수학적 이미지이며, 이 해는 오스트리아인 슈바르츠실트가 1917년에 "아인슈타인 방정식"의 특수 해로서 고안한 것이다:
S = c T
앞서 이미 제시되었다. 이 해는 영리하고 미묘하다. 계산 측면에서 그것은 구성하기 간단하지 않다. 이 정밀함은 하나의 신화, 즉 무지한 사람들로 가득 찬 시대 속에 고립된 천재 아인슈타인이라는 신화를 불식시키기 위한 것이다.
...이 해로부터 구면 대칭을 가진 질량 주위에 평면들 안에 위치한 평면 측지선들이 존재한다는 것이 밝혀지며, 그 형태 r = f(q)를 계산할 수 있다. 이 궤적들(또는 적어도 우리의 정신적 유클리드 표현 공간에의 투영)은 "준 케플러적"이며, 케플러의 법칙들은 이 기하학을 창조하는 질량(뉴턴적 시각에서는 이 "힘")이 온건하게, 즉 이 질량 내부의 국소적 곡률이 낮게 유지될 때 근사로서 나타난다.
...이 해는 일반 상대성 이론의 중심축 중 하나이며, 우리가 독자에게 제공하는 것과 같은 단순한 교수학적 이미지로 언급될 수는 없지만, 예를 들어 수성의 근일점 이동을 예측하고 계산할 수 있게 하는 것이 바로 이것이다. 아인슈타인은 이 해를 사용하여 이미 알려져 있던 이 효과를 설명했고, 동시에 이후 "아인슈타인의 이론"이라 불리게 된 것의 모든 영예를 거두었다. 슈바르츠실트는 왜 자신의 발견을 직접 활용하지 않았는가? 그가 반드시 참전하여 참호로 떠나기를 고집했고, 그곳에서 가스 공격을 받아 얼마 후 사망했기 때문이다.
...덧붙여, 이 유명한 아인슈타인 방정식이 정말로 그의 것인지는 그다지 확실하지 않다. 보아하니 그것은 위대한 수학자 힐베르트에 의해 그에게 제안되었던 것 같다. 아인슈타인은 또한 러시아인 프리드만의 이후 발견, 즉 우주의 진화를 기술할 수 있게 하는 장 방정식의 비정상 해를 발견한 것을 열렬히 받아들이지도 않았다. 1921년 젊은 수학자 칼루자의 연구도 마찬가지였다. 그의 연구는 재발견되어 현재 초끈 이론의 출발점을 구성한다. 이런 것들은 과학적으로 큰 관심사가 아니며 아인슈타인의 가치를 조금도 떨어뜨리지 않지만, 스포츠 정신이 반드시 개인의 과학적 가치와 함께 가지는 것은 아님을 보여준다.
슈바르츠실트가 전개한 해에서, 기술적으로 공간은 두 부분으로 나뉜다. 천체 내부에서 물질 밀도 r은 일정하다고 가정된다. 그것에 의존하는 에너지-물질 텐서 T도 역시 0이 아니다. 외부에서는 r과 T는 0이다.
...따라서 이 복합 기하학은 우변항이 있거나 없는 두 개의 서로 다른 방정식의 해이다. 물질 밀도는 천체 표면에서 불연속성을 보인다(이는 슈바르츠실트 "내부" 해와 슈바르츠실트 "외부" 해의 해 쌍의 경우에도 마찬가지이다. 이 경우 천체는 일정한 밀도의 구이며, 그 밀도는 천체 표면에서 급격히 0으로 떨어진다). 그러나 측지선의 연속성은 앞서 이미 이미지가 제시된 수학적 조건들(원뿔대-구면 캡 연결)을 통해 그럼에도 보장될 수 있다.
...질량이 커지고 곡률 효과가 뚜렷해지면, 예를 들어 중성자별 근처에서 궤적은 케플러 모델에서 더욱 뚜렷하게 벗어난다. 다음은 그러한 천체 주위의 근일점 이동이다(태양 주위에서 수성의 타원 궤적은 세기당 0.15도 이동한다).
...이 궤적들을 계산할 수 있게 하는 공식과 프로그램은 사실 전혀 복잡하지 않다. 우리는 호기심 많은 사람들을 위해 언젠가 이 사이트에 그것들을 제공할 것이다.
...현재 우리는 이후 논의를 위해 몇 가지 기하학적 이정표를 세우고 있으며, 표시된 모델들이 참고용 성격에 불과하다는 것을 상기시킨다.
2004년 7월 1일 이후 이 페이지의 조회수: