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좌표 선택으로 제기될 수 있는 문제들.
...우리는 기하학적 해법에 좌표계를 덧씌우고, 그 해법을 이 특정 좌표계 안에서 표현함으로써 감수하게 되는 위험들을 언급하려 한다. 물론 그 좌표계가 적절해야 한다. 위의 해법을 볼 때, 이 기하학이 장방정식의 해법이라고 가정하면, 좌표계 (r, q)의 사용은 위상이 "국소적으로 구형"임을 전제했다. 물론 2차원에서 말이다. 즉, "이 가상의 기하학적 중심에 중심을 둔" 모든 원 내부에는, 그 원이 점이 될 때까지 항상 더 작은 원을 내접시킬 수 있었다. 수학적으로 말하면 반지름 r의 모든 원은 "수축 가능한 세포"를 한정한다.
...3차원에서, 국소적으로, 우주는 "러시아 인형"과 같을 것이다. 구 내부에는 항상 더 작은 면적의 구를 내접시킬 수 있을 것이다. 3차원에서 이것은 국소적으로 구형인 위상이다.
다르게 될 수 있는가?
그렇다, 만약 표면의 위상이 "국소적으로 원환체적"이라면. 2차원에서 이것은 다음과 같다:
...비고: 위 그림의 대상은 점의 위치를 찾는 데 두 개의 매개변수가 필요한 의미에서 2차원 표면이다. 이런 의미에서 곡선은 "1차원 표면"이다. 원에 관해 말할 때, 기하학자는 "구 S1", 즉 "1차원 구"라는 표현을 쓸 것이다. 곡선, 즉 1차원 대상 위에서 점을 찾는 데에는 단 하나의 매개변수, 횡좌표만 필요하기 때문이다. 구 S2, "보통의" 구와 원, 즉 구 S1은 공통점이 있다. 그것들은 "닫힌" 대상이다(당시 위상수학에서 빌려온 개념).
...공간에서 점의 위치를 정의하는 데 쓰이는 이 양들의 수가 바로 그 공간의 차원의 정의이다. 따라서 시공간 (x,y,z,t)은 4차원 초곡면으로 간주될 것이다. 그 안에서 "사건"이라 불리는 점을 정의하는 데 네 개의 양이 필요하기 때문이다.
차원 개념에 관한 이 비고 끝.
...한 가지를 명심해야 한다. 장방정식의 특정 해법을 구성하는 기하학자는 눈이 멀었다. 그는 자신이 얻은 기하학적 대상을 볼 수 없다. 그는 특정 좌표계 안에서 측지선들을 기술하며 그것들을 통해 대상을 탐사할 수 있을 뿐이다. 방금 전의 극좌표는 동축 원기둥족에 의한 표면의 교차에 대응했다:
그리고 그것들의 공통 축을 지나는 평면족에 의한 교차에도 대응했다.
3차원에서는 동심 구족에 의한 공간의 교차일 것이다.
...하지만 이런 종류의 관상 다리를 보이는 표면을 동심 원기둥족으로 자르면 어떻게 되는가? 원기둥들이 표면을 자르는 동안은 괜찮다. 그러나 그 둘레가 "목 원"의 둘레보다 작아지면 그 단면들은 ... 허수 곡선이 된다. 목 원의 둘레를 p라 하자. 그것을 p = 2 p Rg가 되도록 하는 길이 Rg와 연관시키자.
...r < Rg인 그 족의 모든 원기둥은 표면을 자르지 않음이 분명하다. 기하학자가 r < Rg에 대한 표면의 측지선 형태에 관심을 가지면, 그는 허수 기하학적 대상들을 발견할 것이다.
...예를 들어 x = xo에 대응하는, 직선과 두 점의 교차를 구할 때, 직선이 실제로 원을 자르면 y에 대해 두 개의 실수 값을 찾는다. 그렇지 않으면 그 값들은 순허수이다.
...어둠 속에서 형태를 지각할 수 없이 표면을 탐사하는 사람이, 그 표면의 위상이 국소적으로 원환체적임을 모른다면, 그는 극도로 당황할 수 있다.
표면은 두 곡선족을 이용해 찾을 수 있다:
...각 곡선은 하나의 매개변수로 정의된다. 이 두 곡선의 교차점에 있는 점 M은 두 양 (a,b), 즉 M을 지나는 두 곡선의 두 값으로 잘 정의된다.
...첫 번째는 표면의 측지선이 아닌(목 원은 제외) 원들로 이루어지고, 두 번째는 이 원들에 직교하는, 쌍곡선 형태의 측지선들로 이루어진다. 쌍곡선 곡선들은 한 겹에서 다른 겹으로 넘어갈 수 있게 하는 급강하 궤적들을 연상시킨다.
분명히 국소적으로 초원환체적인 3차원 공간에서도 같은 상황이 있을 수 있다. 원들은 구족으로 대체될 것이며, 그중에서 최소 면적의 목 구를 찾을 수 있을 것이다. 이 구족에 직교하는 궤적을 구성하는 선들은 이 초원환체 터널을 통과하여 다른 3차원 겹(또는 층)에서 다시 나타날 수 있게 하는 급강하 궤적들을 구성한다.
...이 비고는 공허하지 않다. 블랙홀 모델을 검토할 때 다시 돌아올 기회가 있을 것이다. 실제로 이 모델에서 "지평선 구 내부"로 들어가면 입자의 질량은... 순허수가 된다(이것과 다른 많은 것들도). 그때 우리는 과연 여전히 시공간 초곡면 안에 있는지 자문할 권리가 생긴다. 국소적으로 초구형인 위상(지평선 구, 슈바르츠실트 구의 반지름보다 작은 값을 가질 수 있는 방사 좌표 r의 존재)을 함축하는 특정 좌표 선택
(t , r , q , j)
는 적절한가?
한 유명한 천체물리학자는 몇 년 전에 이렇게 썼다:
- 우리는 이제 블랙홀 내부에 관해 훨씬 더 많이 안다.
하지만 블랙홀이 존재한다면, 그것들은 내부를 가지는가, 아니면 국소적으로 초원환체적인 위상에 해당하는가?
...좌표계 선택이 얼마나 많은 것을 유발할 수 있는지 알 수 있다. 기하학적 해법은 존재한다. 그것은 측지선들을 가진다. 그러나 우리는 이 모든 것을 우리의 정신적 표상 공간, 즉 상대론적이지도 않은 유클리드 시공간에 투영함으로써만 "읽을" 수 있다. 좌표계를 선택하는 것은 읽기 체계, 투영 체계를 선택하는 것이다.
...플라톤의 인물들처럼, 우리는 "유클리드 스크린" 위의 그림자들만 관찰할 수 있다. 그렇다면 "투영 체계"의 올바른 렌즈를 선택해야 한다.
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