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기하학적 맥락.
...구는 2차원 공간이다. 그 위의 한 점을 찾아내려면 두 개의 매개변수가 필요하다. 이는 위상(위상이라는 단어의 의미에 대한 더 자세한 내용은 내 만화 『토폴로지콘』, Belin 출판사 참조)을 지닌 공간이다. 구는 토러스와 같은 위상, 같은 "형태"를 지니지 않는다. 구에는 측지선이 있다. 두 점 M1과 M2를 잇는 경로를 그 위에 새겨 넣고 이동한 길이 s를 측정할 수 있다. 이 길이는 점들을 찾아내기 위해 선택한 좌표계와 무관하며, 표면을 채우는 측지 곡선들도 마찬가지다.
...이 구의 중심을 모든 점에 연결해 보자. 우리는 무한히 많은 반직선을 얻는다. 이들은 점들과 동일한 좌표계, 예를 들어 두 각도 q와 j로 찾아낼 수 있다.
위는 우리의 구다. 벡터 반경들의 집합을 보여주기 위해 구멍을 하나 뚫었다.
이제 구를 제거하고 벡터 반경들만 남겨두자.
...이 반직선들을 잘라냈지만, 사실 이들은 무한하다. 각각은 두 개의 매개변수, 예를 들어 두 각도의 주어짐에 의해서만 정의된다. 계량 구조는 사라졌다. 더 이상 측지선도, 길이도 없다. 무엇이 남는가?
- 모든 반직선에는 근방이 있다. 이웃한 반직선들을 선택하여 이것을 일종의 원뿔 속에 가둘 수 있다. 이 원뿔 내부에 반직선을 포함하는 더 좁은 원뿔을 그려 넣을 수 있다. 이는 동심원이나 마트료시카 인형의 문제이지만, 반직선 다발을 사용한다. 다만 이 원뿔들 위에 측지선을 그리는 것은 아니다. 그 생성선들 각각은 단순히 두 개의 매개변수, 예를 들어 두 각도의 집합일 뿐이다.
- 미분가능성에 대한 직관적 관념이 구별된다. 이 "직물"에는 불연속이 없다.
측지선, 길이 등이 있는 평면을 생각해 보자...
...내가 어떤 좌표계를 선택하든, 항상 두 개의 실수 (x,y), (r,q) 등으로 내 점들의 위치를 찾아내야 할 것이다.
이 실수들은 R2, 즉 (3,8705 , - 17,56)과 같은 실수 쌍들의 집합에서 취해진다. 이 실수 쌍들의 공간에서 취한 점들의 모든 쌍에는 근방이 있다. 이는 "연속"이다.
이 "전(前)계량적" 대상들은 다양체라고 불린다(수학자들은 일반인에게 아무런 연상 작용도 하지 않는 단어를 고르는 재주가 있다).
...이 단계에서 우리는 n개의 실수 집합(n차원 공간)을 고려하면서 길이나 측지선의 관념을 자동으로 부여하지 않는 이 도약을 할 수 있다.
...이는 마치 점들이 이웃들과 접촉을 유지하는 것 외에는 아무런 제약이 없는 표면을 고려하는 것과 다소 비슷하다. 그 표면은 무한히 탄성이 있고 변형 가능할 것이다. 관례상, 우리가 표면을 그 윤곽(테두리이든 겉보기 윤곽이든)으로 표현한다면, 단순히 윤곽을 제거함으로써 다양체의 이 "유동적인" 개념을 언급할 것이다:
...이 이미지는 또한 대상의 그림자를 연상시킨다. 그리고 그림자에는 일관성도 형태도 없다. 그 기하학은 그림자가 투사되는 대상에 달려 있다.
다양체(영어로 manifold)를 그 계량 없이 직선들의 가족으로 상상할 수도 있다.
...여기에는 평행해 보이는 직선들을 놓았다. 이 직선들은... 아무렇게나, 근접 관계와 이웃 관계를 유지하면서 그렇게 되어야 할 것이다.
...결국, 다양체 V2의 좋은 이미지는 먼저 삶은 다음, 서로에 대한 면들의 배열을 바꾸지 않고 온갖 방향으로 접고 꼬을 수 있는 스파게티 한 다발이다.
어쨌든, 다양체 위에서 계량을 부여한 두 겹 덮개 연산을 수행할 수 있으며, 이는 다음 이미지에 의해 암시된다:
여기에는 동일한 (유클리드) 계량이 부여된 두 개의 2차원 겹이 있다. 그러나 다음과 같이 할 수도 있다:
...M과 M*를 켤레점이라고 부를 것이다. 두 켤레 공간이 다양체의 두 겹 덮개로 구성된다고 말하는 것은 단순히 두 겹 F와 F* 사이에 점 대 점 대응이 존재한다는 것을 의미하지만, 예를 들어 대응하는 점들의 쌍 (M1,M2), (M*1, M*2) 사이의 거리는 다를 수 있다. 유일한 제약은 결국 점들의 근방도 서로 대응하고 한 겹의 모든 비특이 영역에 역시 비특이 영역이 대응한다는 것이다.
...아까 그 유연한 국수 다발을 다시 만난다. "골격-다양체" 구조는 두 기하학적 대상 사이의 단사 사상을 구성하기 위해서만 존재한다. 위 그림은 "겹 F와 F*는 서로에 대해 어떻게 배치되어 있는가? F가 하나의 우주라면 F*는 어디에 있는가?"와 같은 질문들을 완전히 터뜨리기 위한 것이다. 이 겹들은 단순히 켤레 관계에 있으며 점 대 점 대응을 가지고, 이 켤레 점들은 동일한 좌표로 기술될 수 있다.
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