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공액 곡률.
...3차원 공간에서 양의 또는 음의 국소 곡률이라는 개념을 어떻게 파악할 것인가. 구 하나를 생각해보자. 어딘가에 못을 박는다. 그 못에 길이 L인 실을 묶고, 다른 끝에는 연필을 단다. 그러면 원 하나를 그릴 수 있는데, 이는 위선(위도선)이 된다. 평면과 말안장(saddle)에서도 같은 작업을 수행한다.
...평면에서는 둘레가 2πL이고 원판의 넓이는 πL²이다.
...구에서는 캡(cap)의 둘레와 넓이가 더 작다. 말안장에서는 이 닫힌 곡선으로 둘러싸인 둘레와 넓이가 더 크다. 예: 반지름이 R인 구와, 적도 둘레의 4분의 1에 해당하는 길이 L, 즉 πR/2를 취하면:
...원판의 넓이는 구 캡의 넓이보다 3.875배 크다. 그 둘레는 적도보다 1.57배 크다.
...표면에서 유사한 측정을 수행하면 국소 곡률이 양인지 음인지 알 수 있다. 3차원에서도 유사한 상황이다. 한 점, 반지름 L인 실을 취해... 구를 그린다. 이 구의 넓이가 유클리드 넓이 4πL²보다 작다면 국소 곡률이 양이라고 결론 내릴 수 있다. 만약 이 넓이가 유클리드 넓이 4πL²보다 크다면 국소 곡률이 음이라고 결론 내릴 수 있다. 부피에 대해서도 같은 결론이다. 이러한 질적 아이디어에 만족하자. 3차원과 4차원에서는 곡률 텐서로부터 계산되는 길이 R, 즉 스칼라 곡률을 정의할 수 있다.
...우리가 제시하는 우주론적 모델에서는, 공액된 점에서의 국소 스칼라 곡률 값들이 서로 부호가 반대되도록 두 우주 층(feuillet)을 공액(conjugate)하기로 결정한다:
R* = -R
...이는 순수하게 기하학적인 관점이다. 따라서 이러한 표현의 실제 적용 범위에 대한 일반적인 유보 사항을 제외하면, 2차원 교육용 이미지를 제공하는 것은 쉽다. 이는 아래 그림과 같다:
위쪽은 끝이 둥근 원추(posicône)이다. 원추대에서는 국소 곡률이 0이고, 구 캡에서는 양이다.
아래쪽은 끝이 둥근 '네가코네(négacône)'이다. 네가코네의 원추대에서는 곡률이 0이고, 말안장에서는 음이다.
...이 물체와 측지선을 두 개의 유클리드 표현 공간 평면에 투영했다. 첫 번째 평면은 물리적으로 층 F에 위치한 관찰자의 평면으로, 이 관찰자는 질량 있는 물체는 볼 수 있지만 층 F*를 이동하는 시험 입자는 볼 수 없다.
...한 층에 있는 물체가 다른 층에 있는 관찰자에게 보이지 않는 현상은 순수하게 기하학적 성격을 띤다. 광자는 각 층의 (특수한) 측지선을 따른다고 가정한다. 광자 j는 층 F(우리의 우주 층)를 이동하고, '유령 광자(ghost photons)'라 부를 수 있는 광자 j는 '유령 우주(ghost universe)'인 층 F를 이동한다. 두 층이 서로 소(disjoint)이고 연결되지 않은(non-connected) 집합을 이루기 때문에, 한 층의 광자가 다른 층으로 이동하는 것은 금지된다.
...이러한 기하학적 시스템의 '작동 방식'은 겉보기보다 복잡하지 않다.
...층 F는 자체 기하학을 가지며, 이는 '계량(metric)' g에 의해 완전히 기술되고, 이를 통해 측지선 체계가 구성된다. 이 계량 g로부터 기하학적 텐서 S를 구성하고, 이를 '장의 원인', 즉 이 곡률의 기원인 텐서 T와 동일시하여 아인슈타인 방정식을 쓸 수 있다:
S = c T
스칼라 곡률이 부호가 반대되도록 하는 두 번째 층의 기하학은 계량 g에 해당하며, 이를 통해 기하학적 텐서 S를 구성할 수 있다. 곡률의 부호 반전은 단순히 다음으로부터 도출된다:
S* = - S = -c T
...이는 절대 g* = - g를 의미하지 않는다. 방정식들은 비선형이다. 계량 g* 역시 측지선을 생성한다.
...층 F의 측지선 하나를 고려하고, 다른 층에서 공액된 점들에 해당하는 곡선을 그려보자. 이는 후자의 측지선이 아니다.
반대로:
...이 단계에서 우리는 어디에 와 있는가? 우리는 우주(층 F, 즉 우리 자신의 시공간이라고 가정됨)에 쌍둥이 형제를 부여했다. 우리 우주(층 F)에 존재하는 물질(텐서 T)은 그 기하학을 결정하지만, 동시에 쌍둥이의 기하학도 결정한다. 우리는 우리 우주가 양의 질량만 포함하며, 더 일반적으로 양의 에너지를 가진 입자들만 포함한다고 가정한다. 우리 시공간 층에 음의 질량이 존재할 가능성은 고려하지 않는다. 따라서 텐서 T는 에너지-물질이 있는 곳에서는 양이고, 완전한 진공이 지배하는 곳에서는 0이다. 따라서 층 F의 국소 곡률은 0이거나 양이며, 음일 수는 없다.
...반면 층 F*의 곡률(이때는 유도 곡률이라 부름)은 0이거나 음이다.
...이 층에 입자가 존재한다면, 그것들도 이 층의 측지선을 따른다고 가정한다. 그런데 위 그림을 보면 무엇을 발견하는가? 회색으로 칠해진 물체, 즉 우리 우주(층 F)에 존재하는 이 질량은 층 F*에서 반발적 물체(측지선 궤적의 곡률 참조)처럼 행동한다.
...우리는 이 '공액 계량' 쌍(g, g*)에 해당하는 정확한 수학적 해를 구성했다. [사이트 내: 논문 Geometrical Physics B 참조]. 해 g는 우리가 슈바르츠실트 외부 계량(천체 외부) 및 내부 계량(천체 내부)이라 부른 것과 동일하다. 우리는 두 번째 계량을 '안티-슈바르츠실트(Anti-Schwarzschild)'라 부르기를 제안한다. [사이트 내: Geometrical Physics A, 7, 논문 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. 참조.]
'유령 물질'과 함께.
이러한 공액 기하학의 관점에서 상황을 반전시켜, 양의 질량이 층 F의 어딘가에 존재한다고 가정할 수 있다. 그러면 그 질량은 층 F에서 양의 곡률을 생성하며, 이 기하학의 2차원 교육용 이미지는 끝이 둥근 원추, 즉 층 F*에서의 슈바르츠실트 해에 해당한다.
...서로 다른 층의 관찰자들이 자신의 우주에서 이동하는 시험 입자에 대한 이 질량의 효과를 지각하는 방식에 대해서도 같은 언급이 적용된다.
...위 도식을 검토하면 물질과 두 번째 우주(유령 우주)에 위치한 유령 물질(ghost-matter) 사이의 상호작용 법칙을 도출할 수 있다.
- 두 물질 입자는 서로 인력한다.
- 두 유령 물질 입자는 서로 인력한다.
- 물질과 유령 물질은 서로 척력한다.
...이는 소리아(Souriau)가 제안한 도식과 다르다. 소리아에 따르면 두 번째 종류의 입자들은 우리 물질을 구성하는 입자들을 척력할 뿐만 아니라, 서로 간에도 척력한다.
...두 번째 기하학은 층 F에 양의 질량 m가 존재하는 것에 해당한다. 그곳에서는 물질 밀도 ρ* > 0(또는 더 정확히는 유령 에너지-물질 밀도, 왜냐하면 두 번째 층인 유령 우주에는 '유령 복사', 유령 광자, 유령 중성미자도 포함되기 때문)를 정의할 수 있다. 유령 입자의 에너지는 양이며, 압력 p* 역시 양이다.
...이러한 양들로부터 유령 에너지-물질 텐서 T*를 구성할 수 있다(가장 일반적인 에너지-물질 텐서는 이보다 약간 더 복잡하지만, 이 도식적 설명은 '실용적 필요'에는 충분하다).
층 F*의 기하학을 주는 장 방정식은 다음과 같다:
S* = c T*
층 F의 기하학을 주는 방정식은 다음과 같다:
S = -c T*
...이는 앞서 본 두 방정식의 부호를 반전한 것이다. 층 F에서는 기하학이 유도된 것이다. 즉, 층 F에 위치하여 층 F에서는 보이지 않는 물질 M에 의해 생성된다는 의미이다.
...이제 두 층이 각각 자신의 물질로 채워져 밀도 ρ와 ρ*를 가질 수 있다고 고려할 수 있다.
공액 계량들은 다음 연립 방정식으로부터 유도된다:
S = c (T - T*)
S* = c (T* - T)
이는 명확히 부호가 반대인 곡률을 제공한다:
R* = -R
따라서 이러한 우주는 그 층들에서 양, 음 또는 0인 임의의 곡률을 가질 수 있다.
층 F에서 국소 곡률이 양이라면:
T > T*
또는:
ρ > ρ*
이때 인접한 공액 영역, 즉 층 F*에서는 곡률이 음이다.
층 F에서 국소 곡률이 음이라면:
T < T*
또는:
ρ < ρ*
이때 인접한 공액 영역, 즉 층 F*에서는 곡률이 양이다.
층 F의 어떤 영역에서 곡률이 0이라면, 층 F*에서도 0이다. 이는 다음을 의미한다:
T = T* = 0 (두 영역 모두 진공임)
또는:
T = T* (ρ = ρ*)
뉴턴과 안티-뉴턴.
뉴턴의 법칙은 다음을 가정하여 아인슈타인 방정식으로부터 유도된다:
- 국소 곡률이 작다.
- 속도가 빛의 속도에 비해 작다.
- 시스템이 '준정상(quasi-stationary)' 상태이다(우주론적 관점에서).
...이는 앞서 제시된 결합된 장 방정식 연립체로부터 동일한 방식으로 유도된다. 참조:
J.P.Petit and P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 1 : The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. [사이트 내: Geometrical Physics A, 4, 1998, 섹션 4 참조.]
따라서 다음과 같은 동역학을 얻는다:
- 두 물질 입자 m1과 m2는 뉴턴의 법칙에 따라 서로 인력한다.
- 두 유령 물질 입자 m1과 m2는 뉴턴의 법칙에 따라 서로 인력한다.
- 서로 다른 층에 속한 두 입자 m과 m*는 '안티-뉴턴' 법칙에 따라 서로 척력한다.
일반 상대성 이론 검증에 관하여.
...이 모델은 이러한 검증들과 모순되지 않는다. 실제로 물질과 유령 물질이 서로 척력하므로, 물질이 집중된 곳(예: 우리 은하)에서는 유령 우주의 인접한 공액 부분에서 완전한 진공이 지배한다. 물질이 유령 질량을 멀리 밀어냄으로써 '청소'를 한 셈이다.
태양 근처에서는 유령 물질 텐서 T*가 물질 텐서 T에 비해 무시할 수 있으므로, 장 방정식은 다음과 된다:
S ≈ c T
즉, 이는 아인슈타인 방정식이며, 이는 '쌍둥이' 방정식의 근사 형태로서 제시된다.
기하학 부분의 결론.
**...**이제 유령 우주와의 지속적인 상호작용이라는 새로운 아이디어를 활용하기 위한 모든 준비가 갖추어졌다. 유령 우주의 존재는 중력장에 대한 작용을 통해서만 우리에게 드러날 것이다.
...논문 "J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [사이트 내: Geometrical Physics B, 1-3, 1998 참조]"에서는 쌍둥이 구조가 다르게 접근된다: 군론(쌍둥이 군)을 통해. 특히 물질-반물질 이중성이 두 층 모두에 존재함을 볼 수 있다. 유령 우주에는 유령 물질과 안티-유령 물질이 존재한다.
...우리는 뉴턴 근사를 알고 있다. 따라서 수치 시뮬레이션을 수행할 수 있다. 또한 해석적 해를 구성하려고 시도할 수도 있다. 완전성을 기하기 위해 우주 진화 모델도 제시해야 하는데, 이는 두 우주 모두에 영향을 미치므로 *트윈 빅뱅(Twin Bang)*이라 부를 것이다.
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