GEOMETRISCHE VERMAKELINGEN
Polyhedrale weergave van een puntige knoop, berekening van zijn geconcentreerde kromming.
Polyhedrale weergaven van verschillende oppervlakken.
Permutatie van de puntige knopen van een Cross Cap.
Transformatie van een "rechter" Boy-oppervlak naar een "linker" Boy-oppervlak via het Steiner-Romaan-oppervlak.
Rechter-linker-inversie van een Boy-oppervlak.
Jean-Pierre Petit
Hoofdonderzoeker bij het CNRS
1988–1999 ---
Samenvatting:
Er worden enkele elementen gepresenteerd die helpen bij het weergeven van punten met geconcentreerde kromming: "posicones", "negacones" en hun polyhedrale equivalenten: "posicoins" en "negacoins", die het mogelijk maken om polyhedrale representaties van verschillende oppervlakken te bouwen en hun totale kromming te herleiden. Zo bestaat de polyhedrale weergave van het Steiner-Romaan-oppervlak uit vier aan elkaar geplakte kubussen langs hun ribben, waardoor het veel begrijpelijker wordt. Een polyhedrale representatie van het Boy-oppervlak was reeds gegeven in de Topologicon, 1985, uitgeverij Belin, pagina’s 48 en 49, in de vorm van een uit te snijden ontwerp. Op pagina 46 stonden ook polyhedrale weergaven van een torus en een Klein-fles. Polyhedrale representaties van de Cross-Cap worden gegeven. De totale kromming van de verschillende inbeddingen van het projectieve vlak in R³: Boy-oppervlak, Cross-Cap, Steiner-Romaan-oppervlak, bedraagt 2π. De polyhedrale weergave van puntige knopen, beschouwd als punten met geconcentreerde kromming, maakt het mogelijk om deze kromming zeer eenvoudig te berekenen. Cross-Cap, Steiner-Romaan-oppervlak en Boy-oppervlak tonen zich als "verschillende gezichten" van één enkel object: het projectieve vlak. Aangezien dit niet direct duidelijk is bij eerste blik, worden geometrische transformaties opgebouwd die het mogelijk maken om van het ene naar het andere te gaan. We beginnen met de Cross-Cap, die we transformeren naar het Steiner-Romaan-oppervlak door er twee extra puntige knopen aan toe te voegen (dus in deze richting de algemene transformatie "creatie-decreatie van puntige knopen" toepassend), en vervolgens transformeren we het Steiner-oppervlak naar het Boy-oppervlak door paren puntige knopen te laten samenvloeien. Bovendien, gebruikmakend van het feit dat de standaard inbedding van de bol kan worden omgezet in haar antipodale inbedding (omkeer van de bol), tonen we dat de twee puntige knopen van een Cross-Cap kunnen worden verwisseld via een reeks inbeddingen, wat illustreert dat deze twee punten equivalent zijn.
VOORWOORD:
De lezer zal hier algemene elementen terugvinden die ook voorkomen in de inleiding van GEOMETRISCHE FYSICA A (definities van posicones, negacones, enz.). Als hij dit gedeelte wil overslaan, hoeft hij alleen maar [hier te klikken](#POSICOINS EN NEGACOINS).
Als je op een vlak een driehoek tekent bestaande uit rechte lijnstukken, is de som van de hoeken in de hoekpunten gelijk aan π. Deze rechte lijnen in het vlak kunnen op een andere manier worden verkregen: door stroken van plakband op het oppervlak te plakken zonder plooien te maken. We noemen deze paden in het vlak dan geodetische lijnen. Je kunt geodetische lijnen op elk oppervlak tekenen met dit proces, bijvoorbeeld op een autoportier of op de motorkap.
Figuur 1: Een driehoek beschouwd als een verzameling van drie geodetische lijnen in het vlak
POSICOINS EN NEGACOINS
Maak een snede in een vlak en plak de twee randen weer aan elkaar. Teken vervolgens een driehoek met je plakband, bestaande uit drie geodetische lijnen van deze kegel.
Figuur 2: Constructie van een posicone.
Als je de twee randen van het oppervlak scheidt volgens de eerder gemaakte snede (figuur 3), zie je gemakkelijk, met behulp van een gradenboog, dat de som van de hoeken A, B en C gelijk is aan π plus de hoek van de snede α. Deze afwijking van de Euclidische som noemen we kromming, en we zeggen dat de driehoek een bepaalde hoeveelheid hoekkromming α bevat. Deze afwijking is hetzelfde voor elke driehoek die het toppunt van de kegel bevat. Als die niet het toppunt bevat, is de som gelijk aan π. We zeggen dat de kromming geconcentreerd is in het toppunt M van de kegel, dat dan een "punt met geconcentreerde kromming" is. Aangezien de som van de hoeken groter is dan de Euclidische som, noemen we deze kromming positief. Op deze manier zou een vlak, in deze visie, een oppervlak zijn met nul kromming.
Figuur 3: De posicone platgelegd.
Deze kromming is additief. Als je meerdere van deze kegels, overeenkomstig hoeken α, β, γ, aan elkaar plakt, kun je allerlei driehoeken tekenen bestaande uit geodetische bogen. Als de driehoek drie punten omvat die corresponderen met krommingen gelijk aan α, β, γ, dan is de som van de hoeken in het toppunt gelijk aan: π + α + β + γ.
Je kunt een oppervlak met positieve kromming beschouwen als een bol, samengesteld uit een oneindig aantal "posicoins". In plaats van geconcentreerde kromming op verschillende punten, hebben we een gelijkmatig verdeelde kromming over het hele oppervlak. We zeggen dat de bol een oppervlak is met "constante kromming" (of "constante hoekdichtheid").
Figuur 4: Een driehoek samengesteld uit drie geodetische bogen.
Op de bol zijn de geodetische lijnen "grote cirkels". De evenaar en de meridianen zijn grote cirkels, dus geodetische bogen van de bol. Maar je kunt geen parallel niet maken met een plakband. Parallellen zijn geen geodetische lijnen op de bol. De som van de hoeken in een driehoek die op een bol is getekend, hangt af van het verhoudingsgetal tussen de oppervlakte van de driehoek en die van de bol. De som van de hoeken van een zeer kleine driehoek zal zeer dicht bij π liggen.
Een driehoek met een oppervlakte gelijk aan een achtste van de oppervlakte van de bol zou een som hebben van
A + B + C = 2π
Een grote cirkel op de bol kan worden beschouwd als een "driehoek", mits je de drie hoekpunten... ergens op die cirkel plaatst. De som A + B + C zal dan 3π zijn. Het bevat de helft van de oppervlakte van de bol.
Wat is de maximale afwijking? Je kunt niet zeggen "vergroter de driehoek verder dan die grote cirkel", want daarboven wordt de lengte van de geodetische bogen die de zijden vormen kleiner en zelfs nul.
Als je het hele oppervlak van de bol hebt omgeven, krijg je
A + B + C = 5π = π + 4π
We zeggen dat de totale kromming van de bol gelijk is aan 4π.
Figuur 5: Som van de hoeken. Driehoek samengesteld uit geodetische bogen van de bol.
De hoeveelheid kromming die een driehoek bevat, komt overeen met een eenvoudige regel van drie:
We gaan nu een "negacone" maken door een hoeksector α in een vlak te plaatsen, zoals aangegeven in figuur 6.
Figuur 6: Een "negacone"
Als je de hoeksector verwijdert, krijg je dit:
Figuur 7: De negacone platgelegd.
De som van de hoeken van de driehoek is A + B + C = π – α.
We zeggen dat dit oppervlak een negacone is met een punt met geconcentreerde, negatieve kromming. Deze kromming is ook additief. Door een oppervlak te combineren met een opeenvolging van kleine posicoins en kleine negacoins kun je een oppervlak creëren waarop de lokale waarde van de kromming willekeurig kan zijn.
Figuur 7 is een oppervlak met verdeelde negatieve kromming. We zeggen ook dat dit oppervlak in elk punt een krommingsdichtheid (hoek) heeft. De afwijking (negatief) ten opzichte van de Euclidische waarde van de som van de hoeken hangt hier ook af van de oppervlakte van de driehoek. Hoe kleiner die is, hoe dichter de som bij π ligt.
Figuur 7: Oppervlak met negatieve krommingsdichtheid (hoek).
Figuur 8 toont een voorbeeld van een combinatie van drie gebieden met positieve, negatieve en nul krommingsdichtheid.
Figuur 8: Oppervlak met variabele krommingsdichtheid. Nul in het vlakgedeelte, positief in de bolkap, negatief in de overgang (grijs).
Als je geodetische lijnen tekent, krijg je dit:
Figuur 9: Platte projectie met geodetische lijnen.
In het gekozen voorbeeld is de hoeveelheid kromming in de bolkap gelijk aan en tegengesteld aan die in de overgang (we veronderstellen dat het raakvlak continu varieert). Getuige figuur 10 hieronder:
Figuur 10: De geodetische driehoek, getekend in het vlakgedeelte, bevat de volledige kromming die hij bevat. Aangezien de som van de drie hoeken gelijk is aan π, is hij ingesloten in een Euclidisch oppervlak (vlak). Daarom zijn de "geïntegreerde krommingen" in de bolkap en in het grijs gemarkeerde gedeelte gelijk en tegengesteld.
Sommige oppervlakken, zoals een cilinder, lijken een bepaalde kromming te hebben. Maar als je er een driehoek op tekent met geodetische bogen en vervolgens de cilinder platlegt (zoals posicoins en negacoins, is de cilinder "ontwikkelbaar"), merk je dat de som gelijk is aan 180°. De cilinder is volgens deze definitie van kromming dus "vlak".
Figuur 11: Een cilinder waarop een geodetische driehoek is getekend, en zijn platte ontwikkeling.
Een plooi introduceert geen krommingseffect, en je kunt dit ook met je plakband controleren.
Figuur 12: Een geodetische lijn die een plooi overschrijdt. De plooi verandert niet zijn platte ontwikkeling: hij bevat geen kromming.
POSICOINS EN NEGACOINS.
"Coins" zijn punten waar kromming geconcentreerd is. Ribben bevatten geen kromming. Figuren 6 en 7 tonen hoe je een posicoin kunt maken met geconcentreerde kromming +π/2 en een negacoin met geconcentreerde kromming –π/2.
Figuur 13: Creatie van een posicoin van + π/2
Figuur 14: Creatie van een posicoin van + π/4
Figuur 15: Creatie van een negacoin van – π/2.
Met acht posicoins kun je een kubus maken, die een van de polyhedrale representaties van de bol is.
Figuur 15: De kubus, polyhedrale representatie van de bol
We herwinnen de totale kromming van de bol: 4π
Met acht posicoins en acht negacoins kun je een polyhedrale representatie van een torus maken en haar totale kromming herwinnen: nul.
Figuur 16: Polyhedrale representatie van de torus.
PUNTIGE KNOOPPEN
De Cross-Cap is één van de vele gezichten die het projectieve vlak in R³ aannemen. Het kan er niet worden ingebed. De Cross-Cap heeft een verzameling zelfintersectie die verschijnt als een rechte lijn, waarvan de eindpunten overeenkomen met wat we puntige knopen noemen.
Figuren 17, 18 en 19 tonen hoe je een puntige knoop kunt vormen in gebieden met positieve, negatieve of nul kromming.
Figuur 17: Vorming van een puntige knoop in een gebied met positieve kromming.
Figuur 18: Vorming van een puntige knoop in een gebied met negatieve kromming.
Figuur 19: Vorming van een puntige knoop in een gebied met nul kromming (cilinder).
Figuur 20 geeft een polyhedrale weergave van een puntige knoop, die we later zullen gebruiken.
Figuur 20: Polyhedrale weergave van een puntige knoop
DE CROSS-CAP
Figuren 21a en 22b zijn twee polyhedrale weergaven van de Cross-Cap, makkelijk te begrijpen.
Figuur 21a en 21b: Polyhedrale weergaven van de Cross-Cap.
We weten dat de totale kromming van de Cross-Cap gelijk is aan 2π. Hoe herwinnen we dit uit een polyhedrale representatie?
Figuur 22 maakt het mogelijk om de geconcentreerde kromming in een puntige knoop te berekenen zoals die in figuur 20 wordt getoond.
Figuur 22: Geconcentreerde kromming in een puntige knoop.
Het getekende traject bevat zes rechte hoeken. De knikken 2, 5, 7 en 10 vinden plaats langs ribben en bevatten geen kromming. Het traject 1-2-3 volgt een geodetische lijn op het oppervlak. De geconcentreerde kromming in dit specifieke puntige knoop, waar de bladen elkaar snijden onder rechte hoeken, is gelijk aan –π. Als we nu figuur 21a raadplegen en de krommingen optellen, vinden we –2π. Er zijn namelijk:
Twaalf posicoins +π/2
Vier negacoins –π/2
Twee puntige knopen –π
Totaal: 2π
Figuren 21a en 21b tonen de identiteit van de twee puntige knopen C1 en C2.
Figuur 23: Samenvoeging van twee polyhedrale Cross-Caps.
Figuur 24: De afgeronde samenvoeging.
Na al dit alles kunnen we de geometrische structuur van een Cross-Cap goed begrijpen.
Figuur 25: De Cross-Cap en de samenvoeging van haar twee puntige knopen. Het puntige knoop C1 is gevormd in een gebied met lokale kromming (of hoekdichtheid) positief (zie figuur 16), het punt C2 in een gebied met lokale kromming negatief (zie figuur 17).
Zonder deze details:
Figuur 14: De Cross-Cap en haar twee puntige knopen.
PERMUTATIE VAN DE PUNTIGE KNOOPPEN VAN EEN CROSS-CAP.
Er bestaat een symmetrie tussen deze twee punten, die niet direct duidelijk is.
Bijzonderheden:
Voor de kleine geschiedenis: ik stelde dit probleem me voor na een congres over Lacaniëns psychanalyse in Aix-en-Provence, uitgenodigd door het organisatiecomité. Men vraagt zich af wat psychanalyse Lacaniëns in een voordracht over geometrie doet. Lacan, die nu overleden is, heeft ooit ondoorgrondelijke theorieën geformuleerd over de structuur van ons bewustzijn, dat volgens hem rond een "klein a"-object zou zijn georganiseerd, een ware "organiserende kern van de taal". Voor Lacan is alles taal (daarom zijn zijn beroemde woorden: "het seksueel handelen bestaat niet"). Nu hij dood is, vervagen zijn uitspraken iets. Maar toen hij nog leefde, trokken zijn voordrachten aan de École Normale Supérieure het hele intellectuele Parijs. Beroemdheden uit de film wilden er gezien worden. Iedereen vecht om zijn ondoorgrondelijke woorden te horen. Een van zijn leerlingen, Jeanne Granier-Deferre, zou je kunnen zeggen een trouwe aanhanger (het lacanisme was bijna als een sekte opgebouwd met Lacan als gouden). Ze had een boek uitgegeven getiteld "de topologie volgens Jacques Lacan" (...). Lacan had gezocht naar een eenzijdig oppervlak om de geometrische taalstructuur van onze "psyche" te modelleren. Waarom eenzijdig? Om het te vertegenwoordigen wat hij "enantiosémie" noemde, het dubbele betekenis.
De gedachte is verre van dom. Getuige de beroemde zin van Lacan:
Een man is een man.
waarbij de vijf tekens die het woord "man" vormen, niet hetzelfde betekenen in beide delen van de zin. Aan de linkerkant verwijst het woord "man" naar het mannelijke lid van de menselijke soort. Aan de rechterkant verwijst het naar zijn culturele kenmerken (viriliteit, gedrag, enz.). Volgens Lacan gebruikt onze taal voortdurend het dubbele betekenis, in een dualiteit signifiant-signifié, wat ook niet dom is. We zouden ons kunnen uitbreiden over de ideeën van de overleden Jacques, maar dat zou ons te ver voeren. Daar zal ik een dossier aan wijden, dat waarschijnlijk "JPP bij Jacques Lacan" zal heten, vol met smaakvolle anekdotes. Inderdaad reageerde Lacan onmiddellijk toen in 1979 ons artikel over het omkeren van de bol verscheen in het januarinummer van Pour la Science. Hij belde eerst de blinde Morin, medeauteur, die allergisch was voor psychanalyse (en vele andere dingen), die hem de deur uit joeg. Uit nieuwsgierigheid ging ik naar Lacan op de rue de Lille in Parijs, dus naar het heiligdom van de sekte. Het verhaal van deze ontmoetingen staat in dat toekomstige dossier.
Dat Lacan zich richtte op eenzijdigheid om de taal te modelleren, goed. Bijvoorbeeld, als je het woord "MOT" neemt en zijn spiegelbeeld bekijkt, krijg je "TOM", wat niets te maken heeft. Maar het wordt ingewikkelder met "dat kleine a-voorwerp" (volgens Lacan een "linguïstisch penis"). Al het taalgebruik van de mens zou rond dit centrum zijn georganiseerd. Daarom een andere beroemde zin van Lacan:
De man is geen prater, maar een gepraat individu.
Volgens Lacan is de man slechts een machine die taal afscheidt, zelfs tijdens seks, zelfs in stilte (een stilte die natuurlijk volledig doordrenkt is van onuitgesproken dingen: voor Lacan bestaat stilte ook niet...). Kortom, de man beweegt zich alleen maar over een "eenzijdig taaloppervlak", tussen signifiants en signifiés, gezegd en ongezegd. In het midden van dit geometrisch-taalobject, het kleine a, punt van het denkbare maar onbeschrijflijke: God, of "de vader", wie weet. Ik geef toe dat ik het nooit goed heb begrepen. Maar na de dood van Lacan hielden de Lacaniërs, duidelijk verward door het verdwijnen van hun gouden, in april 1978 een congres in Aix, en nodigden ze mij uit als "expert-geometrisch". Vooraf gaven ze me het boek van Dame Granier-Deferre, dit "Topologie volgens Jacques Lacan". Lacan had gekozen voor het centrale puntige knoop van de Cross-Cap (het enige eenzijdige oppervlak dat hij kon hanteren) om zijn "kleine a" te plaatsen, zijn "linguïstische penis" te planten. Meteen stelde ik me een transformatie voor die het mogelijk maakte om de twee puntige knopen "vader-om te zetten". Dat was één van de thema's van mijn voordracht, die de sekte in volledige verwarring bracht (gezien de psycho-analytische toestand van die 400 deelnemers, verergerde ik de situatie alleen maar). Deze Cross-Cap, door Lacan het "fundamentele fantasie" genoemd, had dus twee linguïstische penissen in plaats van één. Ik probeerde toen de situatie te redden door een Boy-oppervlak, ook eenzijdig, uit een kartonnen doos te halen en aan deze Lacaniërs voor te stellen hun "linguïstische penis" op het enige poolpunt te planten. Details en vervolg van dit geval staan in dat toekomstige dossier "JPP bij Lacan".
Ter afsluiting van deze zijdelingse verwijzing beschrijven we de transformatie die ik destijds had uitgevonden, die de twee puntige knopen verwisselde. Anecdotaal, om beter begrepen te worden door mijn publiek, legde ik uit dat het proces van invaginatie van het puntige knoop C1 deed denken aan "een vaginaal contact bij een kangoeroe". Inderdaad zijn kangoeroes niet placentaal, dus de eileiders van de vrouwelijke kangoeroe stromen rechtstreeks uit in het geslachtsorgaan, zonder baarmoeder, tenzij ik me vergis. Zie figuur 19a en 19b.
Om dit te bereiken, beginnen we met het opblazen van het object zodat de twee puntige knopen en het zelfintersectie-lijnstuk in een gebied van een bol worden samengebracht. We weten dat we een bol kunnen omkeren. De eerste versie werd gegeven door Anthony Phillips in 1967. Een tweede versie werd later uitgevonden door de wiskundige Bernard Morin en gepubliceerd in 1979 bij de CRAS (geïllustreerd door de auteur).
Figuur 15a en 15b: Voor en na het omkeren van de bol.
Het puntige knoop C1 is nu "binnenin de bol". Het volstaat om het object te vervormen volgens de figuren om een resultaat te verkrijgen zoals in figuur 15a. Maar de puntige knopen zijn dan verwisseld.
Figuur 16a en 16b: Begin van de vervorming van het object.
Figuur 17a en 17b: Laatste stap van de transformatie.
TRANSFORMATIE VAN DE CROSS-CAP NAAR BOY-OPPERVLAK VIA HET STEINER-ROMAAN-OPPERVLAK
Neem de Cross-Cap terug. Figuur 18b toont het oppervlak "van opzij". Zo kun je het omgeving van het zelfintersectie-lijnstuk tussen twee vingers vastpinnen, zoals aangegeven.
Figuur 18a en 18b.
Figuur 19a en 19b.
Het puntige knoop C2 gaat door het "fond" van de Cross-Cap en verschijnt "aan de andere kant". Tijdens dit proces ontstaat er een drievoudig punt T, zichtbaar op de weergave 20a. In 20b is de omgeving van dit drievoudige punt getoond.
Figuur 20a en 20b
Laten we dit tussenstadium van de transformatie nader beschrijven. We hebben nog steeds het lijnstuk C1C2 als onderdeel van de zelfintersectieverzameling. Maar de vorige beweging heeft een achtvormige kromme gecreëerd die ook onderdeel is van deze verzameling en door het drievoudige punt T gaat.
Figuur 21: Het tussenstadium
Figuur 22: Het tussenstadium en de zelfintersectieverzameling
Figuur 22 toont een andere weergave van dit tussenstadium en de zelfintersectieverzameling. We gaan nu het oppervlak pinnen volgens de zwarte pijlen zoals aangegeven in figuur 23.
Figuur 23: Pinnen in het tussenstadium.
Het verdwijnen van de buisvormige passages leidt tot het ontstaan van twee nieuwe paren puntige knopen (C4, C6) en (C5, C4). Dit object is niets anders dan het Steiner-Romaan-oppervlak.
Figuur 24: Ontstaan van twee paren puntige knopen: C3, C4, C5, C6
Figuren 25a en 25b zijn vertrouwde weergaven van het Steiner-oppervlak, terwijl figuur 26 een polyhedrale representatie is.
Figuren 25a en 25b: Steiner-Romaan-oppervlak
Figuur 26: Polyhedrale representatie van het Steiner-oppervlak.
Figuur 27 is een andere weergave van deze polyhedrale representatie, die laat zien dat deze bestaat uit vier aan elkaar geplakte kubussen. De zelfintersectieverzameling bestaat uit drie rechte lijnstukken die samenkomen in het drievoudige punt T. Aan de eindpunten van elk van deze lijnstukken bevindt zich een puntige knoop.
Figuur 27: Detail van deze polyhedrale representatie en zelfintersectieverzameling.
Het is nu mogelijk om over te gaan naar het Boy-oppervlak. Hiervoor laten we de puntige knopen twee aan twee samenvloeien. Dit is het omgekeerde van de beweging die werd gebruikt om van figuur 23 naar figuur 24 te gaan. Op figuur 28a zie je de volgorde waarin deze samenvloeiing plaatsvindt.
Figuren 28a en 28b: Samenvloeiing van puntige knopen
Op figuur 28b zijn al twee puntige knopen samengevoegd. De operatie is voltooid in figuren 29a en 19b, waarin we de inbedding van het projectieve vlak herkennen, het Boy-oppervlak.
Figuren 29a en 29b: Twee weergaven van het Boy-oppervlak. In figuur 29b is een deel van het oppervlak verwijderd om het drievoudige punt te tonen.
Een laatste opmerking. Als we in plaats van de punten te laten samenvloeien:
C1 met C4
C3 met C5
C2 met C6
zouden hebben gekozen voor:
C1 met C5
C2 met C3
C4 met C6
dan hadden we de spiegelbeeldweergave van het Boy-oppervlak verkregen. Dus het tussenstadium, het Steiner-Romaan-oppervlak, stelt ons in staat om een "rechter" Boy-oppervlak om te zetten in een "linker" Boy-oppervlak, oftewel in zijn enantiomorfe weergave.