Une nouvelle axiomatique des groupes

Een nieuwe axiomatisering van groepen **

--- **

...Souriau woont in een appartement in het oude Aix. De deur naar de straat is prachtig. In de entree staat een vrij ongewone wagen geparkeerd: een draagstoel uit de negentiende eeuw, die toebehoort aan de eigenares, een jonge vrouw, archeoloog, geloof ik. De stoel staat tegen de muur. Er hoeft alleen nog maar twee draagsters te worden gevonden, de twee lange houten staven in de ringen te steken en erin plaats te nemen om een ritje te maken. De openingen zijn glazen: de zijramen kunnen worden neergelaten, niet met een handvat, maar door middel van leren riemen, zoals dat in de treincompartimenten van mijn jeugd was.

...Wat is dat allemaal vermakelijk. Ik besef dat ik nog nooit in een draagstoel heb gezeten. Ik ben ervan overtuigd dat er in deze tijd van werkloosheid mensen zijn die hun brood kunnen verdienen met het opzetten van de eerste vaste lijn van draagstoelen in het oude Aix. Het zou genoeg zijn om een voertuig te bouwen dat de oude stoelen nabootst. Dat moet niet zo moeilijk zijn. Vervolgens twee versierde kledij en twee pruiken aanschaffen, en dan maar door. Route: de Cours Mirabeau. Dat zou ruimschoots voldoende zijn. Daarna hoeft men alleen nog te dromen en een beetje fantasie te hebben.

...Jean-Marie woont alleen met zijn kat Pioum in zijn grote appartement, vol goud, houtsnijwerk. Pioum is schattig. Toch heb ik niet veel sympathie voor katten. Maar deze kat is uiterst gastvrij en liefdevol.

Wij werken meestal in de keuken, een verdieping hoger. Een klein kamertje onder de zolder, waar de beperkte ruimte in schril contrast staat met de grote kamers beneden. Telkens als Jean-Marie een poging doet om me zijn favoriete drankje te laten drinken: Fernet-Branca, op basis van artisjok, dat ik werkelijk afschuwelijk vind, maar waar hij alle voordelen aan toekent.

...Wanneer hij een wandeling maakt in de stad, neemt hij zijn GPS mee, die hem nooit verlaat. Het is inderdaad fascinerend om je te laten leiden door satellieten op een afstand van veertigduizend kilometer van de straat waar je loopt. Om een betere ontvangst te krijgen, heeft Souriau de neiging om rechtuit te lopen langs het midden van de straat, met zijn ogen gericht op het vloeistofkristal scherm. Doeltreffend, zo lijkt het, maar toch relatief gevaarlijk.

...Ik vind dat we goed kunnen genieten. Een avond in december bracht ik hem een bezoek, en dat gaf de volgende gesprek:

• Ik ga je vertellen over groepen. Herinner je je de axioma's?

• Ja, er zijn er zes. Dat zijn:

1 - Er bestaan elementen a, b, c ... die behoren tot een verzameling E

2 - Er bestaat een interne operatie, genoteerd als o ("rond"), waarmee twee elementen van een verzameling kunnen worden samengevoegd.

a behoort tot de verzameling E

b behoort tot de verzameling E

a o b behoort tot de verzameling E

3 - Deze operatie is associatief:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Er bestaat een neutraal element e zodanig dat:

a o e = e o a = a

5 - Elk element a van de verzameling heeft een inverse, genoteerd als a-1, zodanig dat:

a-1 o a = a o a-1 = e

Zijn dat er vijf?

• In elk geval vijf, of vier, of één. Er is geen absolute regel over het nummeren van axioma's. We kunnen even goed axioma's 1 en 2 combineren tot één:

• Er bestaan elementen a, b, c, etc., behorend tot een verzameling E, uitgerust met een interne bewerking die voldoet aan:

a behoort tot de verzameling E

b behoort tot de verzameling E

a o b behoort tot de verzameling E

Dat is equivalent.

• Goed, vijf, vier, maakt niet uit. Waar wil je naartoe?

• Ik ga hetgeen wat jij axioma's 4 en 5 noemde, het neutrale element en de inverse, laten verdwijnen, en vervangen door het axioma van de sandwich. In totaal zijn de axioma's:

1 - Er bestaan elementen a, b, c ... behorend tot een verzameling E

2 - Er bestaat een interne operatie, genoteerd als o ("rond"), waarmee twee elementen van een verzameling kunnen worden samengevoegd.

a behoort tot de verzameling E

b behoort tot de verzameling E

a o b behoort tot de verzameling E

3 - Deze operatie is associatief:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Gegeven drie elementen a, b, c, behorend tot de verzameling E.

Overweeg de vergelijking:

a o y o b = c

Die heeft precies één oplossing.

Dat noem ik het axioma van de sandwich, waarbij het "ham" y tussen de elementen a en b wordt ingesloten, en c de gehele sandwich is. Het axioma betekent:

Je kunt altijd de ham uit een sandwich halen.
*

En ik zeg dat deze axioma's groepen definiëren, ze zijn equivalent aan de vorige.

• Deze unieke oplossing y behoort tot de verzameling E, omdat de operatie intern en associatief is.

• Natuurlijk, dat is vanzelfsprekend.

• Maar het is nog beter om het uit te spreken. Ik weet niet hoe je het gaat aanpakken om de twee axioma's over het neutrale element en de inverse terug te vinden, maar ik begrijp tenminste waarom je deze gedachte had.

• Ik dacht: "Wat is de nut?"

• Precies. Wat is het nut van een neutraal element? Zoals het nu is, betekent het "als ik een verzameling E heb en een neutraal element, kan ik elk element van die verzameling met dat element combineren en hetzelfde resultaat krijgen". Dat geeft me niets. Evenmin is het nut van de inverse in zichzelf. Wanneer we berekeningen uitvoeren op groepen, op een of ander ding, lukt het ons altijd door vermenigvuldiging aan de rechter- of linkerzijde met elementen of hun inverse, om a o a-1 of a-1 o a te krijgen, dat we vervangen door e, en dan b o e of e o b, dat we vervangen door b. Jouw axioma van de sandwich is "functioneel".

• Als je wilt. Laten we overgaan naar de stellingen die voortvloeien uit het axioma van de sandwich. De eerste is:

I - Er bestaat een neutraal element dat, samengesteld met zichzelf, zichzelf oplevert:

e = e o e

II - Dit neutrale element is uniek.

Bewijs:

Vertrek van het axioma van de sandwich. De vergelijking

a o y o b = c

heeft een unieke oplossing y.

Dit geldt ook als b = c = a, dus

a o y o a = a

heeft een unieke oplossing. Vermenigvuldig rechts met y:

a o y o a o y = a o y

Noem a o y = e

...Dat is een element van de verzameling, aangezien a en y tot de verzameling behoren en de operatie intern is. Dus er bestaat een element van de verzameling zodanig dat:

e o e = e

...Stelling I is bewezen. Laten we overgaan op uniciteit, stelling II. Als het niet uniek was, zou er een ander element in de verzameling bestaan, noem het f, dat voldoet aan:

f o f = f

We hebben:

e o e = e

Vermenigvuldig rechts met f:

e o e o f = e o f

Vermenigvuldig opnieuw rechts met e:

e o e o f o e = e o f o e

Gebruik associativiteit:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Dat zijn twee sandwiches. Noem ze:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Volgens het axioma van de sandwich kunnen we de ham "uit de sandwich halen", dat wil zeggen, berekenen van de uitdrukkingen ( e o f ) en f, die gelijk zijn omdat p = q. Dus:

( e o f ) = f

...Begin opnieuw met de bewering die geldt voor het tweede element f:

f o f = f

...Vermenigvuldig twee keer rechts met e, en links met e:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Gebruik associativiteit:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Gebruik het axioma van de sandwich een tweede keer, waaruit volgt dat:

e o f = e

dus:

e = f

Stelling III: Als ik dit element e "gelijk aan zijn kwadraat" neem, leidt het tot:

a o e = a

Bewijs:

We gebruiken steeds het axioma van de sandwich. We beginnen met de definitie van e:

e o e = e

Vermenigvuldig achtereenvolgens rechts met a en met e:

e o e o a o e = e o a o e

Laat associativiteit werken.

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Dus:

e o a = a

Begin opnieuw met:

e o e = e

en vermenigvuldig achtereenvolgens links met a en met e:

e o a o e o e = e o a o e

Laat associativiteit werken.

e o ( a o e ) o e = e o a o e

Hieruit volgt:

a o e = a

Stelling III is bewezen.

Laten we overgaan naar stelling IV

(bestaan van een inverse, genoteerd als a-1).

Formulering: gegeven een element uit de verzameling. Er bestaat precies één element dat oplossing is van de vergelijking:

a o y o a = a

We noemen dit element a-1 en noemen het de inverse van a. Dit element voldoet aan de eigenschappen:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

Bewijs.

Bestaan en uniciteit van dit element is een eenvoudige gevolg van het axioma van de sandwich, wanneer het wordt geformuleerd als:

Wanneer het brood in een sandwich identiek is aan het brood en identiek aan de hele sandwich, dan is de ham de inverse van het brood (of van de sandwich).

a o y o a = a

We kunnen associativiteit op twee manieren toepassen:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Maar we weten dat:

e o a = a

a o e = a

Dus de oplossing y voldoet aan:

a o y = e

y o a = e

Laat zien dat deze oplossing uniek is. Als het niet uniek was, zou er een andere zijn

a o z = e

z o a = e

Vermenigvuldig de eerste vergelijking links met y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

maar y o a = e, dus:

z = y

We noemen deze oplossing a-1, oplossing van de unieke vergelijking:

a o a-1 o a = a

Zo leidt het nieuwe stelsel axioma's tot dezelfde eigenschappen die klassiek de groepen definiëren.

Men kan dus groepen definiëren met dit nieuwe stelsel axioma's:

Definitie van een groep.

1 - Er bestaan elementen a, b, c ... behorend tot een verzameling E

2 - Er bestaat een interne operatie, genoteerd als o ("rond"), waarmee twee elementen van een verzameling kunnen worden samengevoegd.

a behoort tot de verzameling E

b behoort tot de verzameling E

a o b behoort tot de verzameling E

3 - Deze operatie is associatief:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Gegeven drie elementen a, b, c, behorend tot de verzameling E.

Overweeg de vergelijking:

a o y o b = c

Die heeft precies één oplossing.

Als de elementen van de verzameling E, uitgerust met hun interne bewerking, deze vier axioma's voldoen, zeg ik dat ze een groep vormen.

Stelling: Het neutrale element is zijn eigen inverse. Deze nieuwe definitie van het neutrale element, via één vergelijking, leidt tot een ander soort bewijs voor deze eigenschap.

e o e = e

Dat is de definitie van het specifieke element e. Maar het axioma van de sandwich maakt dat deze vergelijking identiek wordt aan de eigenschap (en niet langer de definitie) van de inverse.

Andere stelling: De inverse van de inverse is gelijk aan het element zelf:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a is de inverse van a-1. Daarom geldt deze eigenschap.

Laat zien dat:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

We berekenen:

a o b o b-1 o a-1 en b-1 o a-1 o a o b

Laat zien dat deze twee uitdrukkingen gelijk zijn aan e.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

Idem voor de andere uitdrukking.

• Dit is een andere aanpak van het concept van groep.

• De ontologie van groepen.

• Als je wilt.

• Maar iets zegt me dat dit idee vruchtbaar zal blijken.

• Nu, vergeet alles, zelfs het axioma van de sandwich. Overweeg een verzameling E uitgerust met een interne associatieve bewerking o. Stel dat er in deze verzameling een element bestaat dat, samengesteld met alle andere elementen, het neutrale element speelt:

a o e = e o a = a - Is het uniek?

• Als het bestaat, is het noodzakelijkerwijs uniek, dat is te bewijzen.

• Ah ja, dat klopt.

• Ik zeg dat twee elementen a en b onderling verbonden zijn door een reciprociteitsrelatie als:

a o b = b o a = e

Als we a geven, is b zijn inverse. Ik zeg dat als ik de verzameling beperk tot het deel van elementen die een inverse hebben, dit deel een groep vormt. Dat is een manier om groepen te construeren. Met andere woorden, we selecteren uit de verzameling de elementen die aan deze eigenschap voldoen, en ik zeg dat dit voldoende is om te beweren dat dit deel een groep vormt.

We moeten laten zien dat deze eigenschap intern is.

• Wat bedoel je?

• Gegeven twee elementen a en a' die aan de eigenschap voldoen, dat wil zeggen:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a heeft een inverse b

a' heeft een inverse b'. Ze zijn dus in het betreffende deelverzameling. We moeten laten zien dat a o a' ook een inverse heeft.

Verwijder deze "rondjes", die lastig zijn.

a' o b' = e

Vermenigvuldig links met a en rechts met b:

a a' b' b = a e b = a b = e

Dus:

( a a' )( b' b ) = e

Begin opnieuw met:

b o a = e

Vermenigvuldig links met b' en rechts met a':

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

( b' b )( a a' ) = e

Dus het element dat ontstaat door a en a', die beide een inverse hebben, heeft zelf ook een inverse.

• Overblijft om te laten zien dat dit deelverzameling inderdaad een groep vormt.

• En daarvoor zal ik tonen dat deze deelverzameling het axioma van de sandwich voldoet, dat wil zeggen dat:

a y b = c

precies één oplossing y heeft.

• Ik begrijp. Axiomatisch werk je nu in omgekeerde volgorde ten opzichte van eerder. Eerder gaf je het axioma van de sandwich en toonde je dat dit de bestaan van inversen impliceert. Nu neem je aan dat alle elementen van de verzameling een inverse hebben, en je probeert, met behulp van deze eigenschap, het axioma van de sandwich terug te vinden.

• De beste manier om te tonen dat de vergelijking precies één oplossing heeft, is die oplossing te construeren. Vermenigvuldig de bovenstaande vergelijking links met a-1 en rechts met b-1.

a-1 a y b b-1 = a-1 c b-1

( a-1 a ) y ( b b-1 ) = a-1 c b-1

y = a-1 c b-1

• Dus y is inderdaad oplossing van de vergelijking:

a y b = c

Door de gevonden oplossing in te voeren, volgt:

a ( a-1 c b-1 ) b = c

...Hierbij nemen we aan dat we met haakjes kunnen spelen, en de associativiteit kunnen uitbreiden. We hebben aangenomen (dat is één van de axioma's) dat we twee elementen kunnen isoleren in een reeks bewerkingen

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

Het gaat erom te tonen dat het toegestaan is om drie elementen tussen twee haakjes te plaatsen. Maar we zullen dit zonder bewijs aanvaarden.

Toepassingen:

...Overweeg de verzameling van reële getallen uitgerust met vermenigvuldiging x als bewerking. Die is intern, maar vormt geen groep volgens dit nieuwe stelsel axioma's. Inderdaad heeft de vergelijking die het element e definieert:

e o e = e

twee oplossingen:

e = +1 en e = -1

...Overweeg de vorige constructie. We geven een verzameling (de reële getallen), een interne associatieve bewerking (vermenigvuldiging). Deze verzameling heeft een neutraal element 1, dat niet wordt gedefinieerd als oplossing van

e o e = e

maar als element dat, samengesteld met elk ander element van de groep (zelfs zichzelf), hetzelfde resultaat geeft, anders gezegd de klassieke definitie:

Voor elk a behorend tot de verzameling E geldt:

e o a = a o e = a

Als we uitgaan van de klassieke definitie van de inverse:

a o a-1 = a-1 o a = e

...Hebben we aangetoond dat het deelverzameling van elementen met een inverse een groep vormt. Dus de reële getallen zonder nul vormen een groep.

Overweeg vierkante matrices van formaat (n,n). Ze hebben een neutraal element:

met nullen buiten de hoofddiagonaal, gevuld met "1"

De inverteerbare matrices vormen een groep, die men het Lineaire Groep GL(n) noemt.

• Ik vind dit allemaal erg leuk.

• Hmmm... het is slechts een variant van de klassieke axiomatisering. Ik heb dit gepresenteerd op een colloquium over epistemologie in Grenoble, een week geleden.

VERDERGAAND