Een inbedding van een oppervlak in R3 is een representatie waarbij het raakvlak continu is en waarbij er geen zelfintersectie-gebruik is Bijlagen:
Een inbedding van een oppervlak in R3 is een representatie waarbij het raakvlak continu is en waarbij er geen zelfintersectie-gebruik is. De bol en de torus kunnen in R3 worden ingebed.
Een immersie van een oppervlak in R3 heeft ook een continu raakvlak, maar er is wel een zelfintersectie-gebruik aanwezig. Voorbeelden: de Boy-oppervlak, de Klein-fles.
Het is altijd mogelijk om een inbedding in een immersie te veranderen. Neem een bol en breng twee punten, bijvoorbeeld antipodale punten (de "polen"), in contact met elkaar aan de binnenkant. In dit "onmateriële" universum van immersies kunnen oppervlakken zichzelf doorsnijden. Hier ontstaat dan een zelfintersectie-curve (hier, een cirkel).
Maar het omgekeerde is niet automatisch mogelijk. Zo kan het projectieve vlak niet in R3 worden ingebed, het kan er alleen worden geïmmergeerd. De klassieke vorm van deze immersie is het Boy-oppervlak, dat een zelfintersectie-gebruik heeft in de vorm van een tripale helix, met een drievoudig punt (waar drie lagen elkaar kruisen). Zie figuren 29a en 29b. Hetzelfde geldt voor de Klein-fles, waarbij de minimale zelfintersectie een gesloten curve is. Zie de Topologicon, pagina 46. Inbeddingen kunnen worden beschouwd als speciale gevallen van immersies, waarbij het zelfintersectie-gebruik leeg is. Representaties waarin kusppunten verschijnen zijn geen immersies, omdat deze punten singulier zijn ten opzichte van de continuïteit van het raakvlak. Noem deze representaties scheefgezetten van objecten in R3. Een scheefgezet van een oppervlak in R3 kan eruitzien als een "bijna overal" immersie, dat wil zeggen met een continu raakvlak, behalve op een eindig aantal punten. Maar dit is geen voldoende precieze definitie, omdat er meerdere manieren zijn om de continuïteit van het raakvlak te verstoren. We zullen dit onderwerp van oncontinuïteit later nog eens bespreken.
Oppervlakken, en meer algemeen objecten: punt, rechte, gesloten kromme, "kromme met rand" (segment of "b1-bol"), schijf, etc. zijn als de objecten van een taal. We hebben veel gespeeld met al deze elementen in de Topologicon (zie de cd-Lanturlu), "woorden", of "letters" waarmee je woorden kunt maken, en daarna zinnen, op basis van een syntax. We noemen deze objecten constructies.
Er zijn transformaties die echte geometrische operatoren zijn. In het artikel hebben we de creatie- en vernietiging van kusppunten beschreven. Laten we dit verder uitwerken.
Een fundamenteel object is wat we de "gamma-cilinder" kunnen noemen.
Het heeft een zelfintersectie-lijn, vanaf waaruit, door het bovenste buisvormige gedeelte te verkleinen, we twee kusppunten zullen creëren.
We beginnen met de verkleining: 
De doorsnede van het oppervlak is steeds een "gamma", maar correspondeert met een gedeelte dat zich verkleint. Het analyseren van de omgeving van een singulier punt is altijd lastig. Er zijn verschillende tekeningen mogelijk, die overeenkomen met verschillende soorten singulariteiten.
Het punt G komt overeen met de samenkoming van twee kusppunten. De Anglo-Saxons noemen alle singulariteiten "cusps". Vertaling (woordenboek): hoorn, top. Maar de top van een hoorn is een kegelpunt. Larousse: cuspide: scherp en lang punt, van het Latijnse cuspida: punt. De singulariteit die ontstaat door de samenkoming kan andere vormen aannemen, bijvoorbeeld: 
De dwarsdoorsnede is hetzelfde: deze omgekeerde "V", maar het gaat niet om hetzelfde object of de zelfde singulariteit. Hoe dan ook, je kunt van één van deze figuren naar:
waar we twee kusppunten C1 en C2 hebben. De rechte doorsnede is veranderd (weergegeven rechts met, boven de figuur, het snijvlak).
Dit is de "C"-modificatie.
Details: 
Ik legde aan een vriend, per telefoon, uit wat een kusppunt was.
-
Stel je voor dat je op een paard zit. Plotseling druk je met je benen het paard in elkaar, zodat je twee benen-segmenten in contact brengt. Het paard-oppervlak verandert. Zijn rechter achterste deel verbindt zich met zijn linker schouder en zijn linker achterste deel met zijn rechter schouder.
-
Maar waar is het kusppunt?
-
Je zit erop.
Het verschijnsel van het veranderen van het verbinden van lagen heet een chirurgie. De hierboven beschreven operatie is de vorming van een kusppunt uit een paraboolcilinder (het "paard" van net daarvoor):
Na het "drukken van het paard": 
Bovenin, het kusppunt.
Het kusppunt dat ontstaat door het indrukken van een oppervlak langs een segment en het veranderen van het verbinden van de lagen (een chirurgie) helpt ons te begrijpen hoe je een bol kunt veranderen in een Cross-Cap (ook wel "bol met gekruiste hoed" genoemd) door een bol te pincen met een krulspeld. 
De krulspeld wordt zo het eenvoudigste gereedschap om een bol in een eenzijdig oppervlak te veranderen.
Hieronder is de Cross-Cap:
Korte afwijking: hoe "verknoop" je een Cross-Cap? Je kunt beginnen met een van haar polyhedrale representaties:
Vanaf daar kunnen we het netwerk in de buurt van een kusppunt afleiden:
Betekent dit dat een krulspeld automatisch een tweezijdig oppervlak verandert in een eenzijdig oppervlak? Nee, zie de onderstaande tekening: 
Hier heb je een bol tussen twee regels gepincerd. Het blijft een tweezijdig oppervlak. Schilder het, je ziet het. Je kunt er twee kleuren voor gebruiken (voor de Cross-Cap zou je dat niet kunnen, omdat het eenzijdig is):
Een andere kijk: 
In deze vorm laat de bol de helft van zijn buitenkant en de helft van zijn binnenkant zien. Als je dit object moeilijk ziet, hier is een polyhedrale representatie:
Wanneer je op dergelijke polyhedrale representaties stuit, zou je geneigd zijn de decompositie in "contracteerbare cellen" (zie de Topologicon, op de cd-Lanturlu) toe te passen om de Euler-Poincaré karakteristiek te berekenen. De polyhedrale representaties van de bol (een simpel kubus), of de torus, laten het mogelijk om hun karakteristiek te berekenen. Twee voor de eerste en nul voor de tweede. In het album, pagina 47, vond je het montageplan van een "Boy-kubus" waarin ribben werden weergegeven. Tijdens het proces kun je dit bouwen met "Reynolds-vierkante profielen", in lichtgelegerd materiaal, gebruikt om planken te maken. Je snijdt de vierkante buizen zo netjes mogelijk, en assembleert ze met plastic onderdelen. Plan een object van 80 cm breed. Het ziet er erg mooi uit. Volgende pagina, een snijding om het object te bouwen. Op pagina 47 gebruikte ik het object om de karakteristiek van de Boy te berekenen: 28 hoekpunten, 43 ribben, 16 vlakken:
28 - 43 + 16 = 1
Maar in dit object merk je iets: het zelfintersectie-gebruik is "niet aanwezig". De polyhedrale representatie van de Cross-Cap die hierboven staat, is niet geschikt voor deze decompositie in punten, ribben, vlakken, met tellen. Hetzelfde geldt voor de Romeinse oppervlak van Steiner. Met kusppunten (pinch points in het Engels, "pincelpunten", deze oppervlakken zijn zodanig dat het zelfintersectie-gebruik onderdeel is van de polyhedrale representatie. Ze zijn dus alleen onderwijsdoeleinden. Het object hierboven is "twee vierkante prisma's aaneengesloten langs een rib". Net als de polyhedrale versie van de Steiner (zie hierboven) is het "vier kubussen aaneengesloten via hun ribben".
Als je je verwijst naar ons artikel uit 1979 "Het omkeren van de bol", Bernard Morin en Jean-Pierre Petit, Pour la Science 1979 (plus twee notities bij de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, gepresenteerd door Lichnerowicz, van dezelfde tijd) vind je een indeling van de inbeddingen en immersies van de bol en de torus.
Vermeld, een fundamenteel theorema, van de Amerikaanse wiskundige Steven Smale (Field Medal)
Er is slechts één klasse van immersies van de bol S2 in R3.
De inbeddingen van de bol S2 zijn natuurlijk speciale gevallen van immersies (zonder zelfintersectie-gebruik).
De bol is tweezijdig: we maken onderscheid tussen "de standaard inbedding van de bol" en zijn "antipodale inbedding" (hetzelfde, maar omgekeerd). Het theorema van Smale, puur "formeel", impliceerde dat je van de bol naar de "omgekeerde bol" kon gaan door een continue reeks immersies. Smale was zeker van zijn theorema, van zijn bewijs, maar miste zijn grafische illustratie, een constructie.
Anthony Phillips, in 1967, was de eerste die deze transformatie bouwde (er zijn oneindig veel mogelijke constructies, dat wil zeggen van wegen, van continue reeksen immersies die van de standaardbol naar zijn antipodale inbedding leiden). Morin, een Franse wiskundige, blind sinds hij vijf jaar was, vond de tweede versie, die ik in 1975 tekende (artikel van Pour la Science 79). In het tekst dat ik zal wijden aan het omkeren van de bol, zul je zien dat het omkeren van de torus (minstens zijn triviale versie) direct volgt. In het artikel van PLS, geschreven door Morin, wordt melding gemaakt van de vier klassen van immersies van de torus, classificatie afgeleid van de werk van Maurice Hirsch, Ioan James en Emery Thomas. Zie Pour la Science 79, figuur 12 (ik ben er niet op aandringend, want in een toekomstig artikel herneem ik alles). De immersies van de torus bestaan uit vier "eilanden", vier "continenten". Binnen eenzelfde continent kun je navigeren door continue reeksen immersies te verbinden, een operatie die een regelmatige homotopie heet. Twee immersies die kunnen worden verbonden door een "weg" die bestaat uit een continue reeks homotopies, worden homotopisch genoemd. Het is onmogelijk om van één van de "continenten" van de immersies van de torus naar een ander te gaan door een regelmatige homotopie. Er zijn vier verschillende homotopieklassen. In één van deze homotopieklassen bevinden zich de standaard torus en dezelfde, omgekeerd, de "antipodale torus". Je vindt er ook een object dat ontstaat door het teken "oneindig" te draaien rond een as die het vlak bevat waarin het is getekend, of het cijfer acht, onverschillig. Het is verbluffend om te zien dat deze objecten homotopisch zijn:
Het artikel van PLS laat zien hoe je van het ene naar het andere kunt gaan, volgens een "niet-triviale" versie van het omkeren van de torus die ik bedacht (Note bij CRAS J.P.Petit, waarvan ik momenteel de verwijzingen niet in mijn hoofd heb), die te vinden is op pagina's 47 en 47 van het artikel van PLS of op de voorpagina van de Topologicon. Dit omkeren gaat dan door een dubbele overdekking van de Klein-fles (zie de Topologicon, pagina 52).
Een klein opmerking, terzijde, zonder enige bitterheid: ik ben nooit geweest winnaar van de Alembert-prijs (die een werk van wiskundige popularisatie beloont). Het onderwerp was besproken in een comité, een keer aan het begin van de jaren tachtig. Christian Brochet, directeur van het CSSTI van Poitiers, was erbij en steunde mijn kandidatuur met kracht. Maar een ander lid zei toen, kortaf:
- Petit heeft niet alleen boeken als de Topologicon, de Géométricon en het Zwarte Gat gemaakt. Hij is ook de auteur van een andere strip: het Stilte-gevangenis (zie de cd-Lanturlu).
De leden van het comité knikten toen ernstig en het dossier "JPP" werd definitief gesloten. Vanwege dezelfde reden zul je mijn naam niet vinden naast het Boy-oppervlak dat in principe in het Palais de la Découverte staat (waar het verder oxidatie ondergaat). Toch ben ik degene die zijn meridiaanrepresentatie bedacht, met behulp van ellipsen (wat Apéry hielp om de eerste impliciete vergelijking te ontdekken).
Er zijn boeken die een onvergankelijke vlek zijn in de carrière van een onderzoeker. Het Stilte-gevangenis is er een. Begrijp waarom. Dit boek breekt het elfde gebod van God:
- Je zult niet bestuderen wat rond is en vliegt.