Analytische representatie van de Boyoppervlakte

f5101 Een analytische weergave van de Boyoppervlak J.P. Petit en J. Souriau .

**...**Hieronder een afbeelding van een notitie in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences van Parijs, ondertekend door J.P. Petit en J. Souriau, uit 1981.

**...**Dit werk heeft een geschiedenis. Tot het verschijnen van mijn album Topologicon, uitgegeven bij Belin in de reeks Aventures d'Anselme Lanturlu, in 1985, waren er weinig afbeeldingen van het Boyoppervlak in vakliteratuur. Hier en daar vond men foto’s van modellen gemaakt van gips of van kippenkooi. Charles Pugh, uit het wiskundeprogramma van de universiteit van Berkeley, is wereldwijd onbetwist de specialist op het gebied van kippenkooi. Het was juist met dit materiaal dat hij een belangrijke prijs won, toen hij de modellen maakte die het omkeren van de bol volgens Bernard Morin beschreven. Deze modellen werden later digitaliseerd door Nelson Max, waardoor een film ontstond die in alle wiskundestudies over de hele wereld te zien is.

**...**Maar ik vind dat kippenkooi een weinig nobel materiaal is, vooral voor zulke hoogwaardige wetenschappelijke onderwerpen. Nadat ik kennis had gemaakt met een plastisch kunstenaar genaamd Max Sauze, leerde ik de techniek van het koperen draad, dat tegelijk flexibel en stijf is. Max solderde dit met vakkundigheid, zorgvuldig vermijdend te veel te verwarmen, om ongewenste spanningen in het materiaal te voorkomen.

**...**Mijn vriend Jacques Boulier, alias Vasselin, was destijds docent aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Een jaar stelde hij voor dat ik een van zijn collega’s zou vervangen die naar het buitenland was vertrokken. Dat deed ik, waarbij ik een halve baan had met Sauze. Terwijl ik de objecten ontwierp, solderde Max ze samen. Onze studenten, nieuwsgierig rond ons heen lopend, probeerden ons zo goed mogelijk na te bootsen. Die jaar werd een vleugel van de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence een soort productiefabriek voor wiskundige oppervlakken.

**...**Als je er zelf aan wilt beginnen, is het niet ingewikkeld. Je hebt een rol koperen draad nodig, bijvoorbeeld van 1,5 mm diameter, maximaal 2 mm, en een schaar. Daarmee kun je de twee families van lijnen weergeven die elk oppervlak vormen.

**...**Het probleem is om deze objecten goed te vormen. Daarvoor is het handig om de verbindingspunten te kunnen verschuiven, waar de meridianen en parallelen elkaar kruisen. Een goede oplossing is simpelweg de twee metalen draden met naaldenwol te binden. Het is stevig genoeg om het object in stand te houden, maar voldoende glad om vervormingen en aanpassingen mogelijk te maken.

**...**Pas wanneer je denkt dat het object wiskundig volledig overeenkomt met je wensen, geef je het aan iemand die handig is met zilverlont en weet te solderen zonder de staven te verhitten – zoals Max dat met meesterlijke vaardigheid kon.

**...**Op een dag bracht ik een prototype van het Boyoppervlak mee, nadat ik had ontdekt hoe de meridianen en parallelen moesten worden geplaatst. Het leek erop dat je kon zorgen dat de meridianen op het eerste gezicht lijken op een familie ellipsen.

**...**Max maakte een nauwkeurige kopie van het object. Ik ging toen naar Souriau. Zijn zoon (die nooit de geduld had om zijn natuurkundestudie af te maken) speelde met de Apple II van zijn vader. Ik zei:

• Jérôme, wil je een puur wiskundig artikel op je naam hebben?

• Waarom niet? Wie moet er worden vermoord?

• Niemand. Kijk naar dit object. Neem een geodriehoek, meet die ellipsen en probeer een semi-empirische weergave van dit oppervlak te bouwen.

• We kunnen het proberen, geef maar...

**...**Twee dagen later was het klaar. Het artikel werd snel geaccepteerd door de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences van Parijs en gepubliceerd onder onze twee namen: J.P. Petit en J. Souriau.

**...**Maar omdat de vader Jean-Marie heet en de zoon Jérôme, zijn alle wiskundigen ervan overtuigd dat dit werk samen door Souriau senior en ik is gemaakt.

**...**De computerweergave van het oppervlak, met een klein BASIC-programma van een paar regels, verbaasde vele wiskundigen die verwachtten iets veel ingewikkelders. De zaak had een onaangename uitwerking. De wiskundige Bernard Morin had een promovendus, Apéry, zoon van Apéry senior, auteur van het onvergetelijke theorema dat de som van de derdemachten van gehele getallen een irrationaal getal is. Enzovoort...

**...**Ik wist niets van dit alles. Onze vooruitgang maakte Morin erg ongerust, vooral omdat ik hem naïef verklaarde dat deze methode ook zou kunnen worden gebruikt om het vierorenoppervlak te beschrijven – het oppervlak waardoor Morin beroemd was geworden, dat met kippenkooi was gemaakt door Pugh, vervolgens digitaliseerd door Max, enzovoort.

Morin fronste zijn wenkbrauwen:

• Nee, dat is onmogelijk!

**...**Daarover later. Ik blijf ervan overtuigd dat het wel mogelijk is. Maar deze zin was het tegenovergestelde van de beroemde uitspraak van Archimedes aan de Romeinse soldaat die hem stoorde in zijn overpeinzingen – Noli tangere circuleos meos!
In het Frans: "Raak mijn cirkels niet aan!"

Hier was het eerder: "Raak mijn ellipsen niet aan!"

**...**Later exploiteerde Apéry mijn ontdekking dat het Boyoppervlak kon worden uitgerust met een systeem van elliptische meridianen, om de eerste impliciete vergelijking van het object te construeren:

f(x,y,z) = 0

**...**Morin, boos dat ik in zijn eigen wiskundige werk als een opstandeling verscheen, dwong Apéry in zijn proefschrift te vermelden dat Sauze de ellipsen had gevonden. Max ontkende het niet, maar het is onjuist. De bewijsvoering ligt in mijn kelder: het model dat ik aan Max gaf om het netjes te maken.

**...**Tenslotte is dit allemaal een beetje belachelijk. Deze anekdote dient alleen om te tonen dat wiskundigen niet slimmer zijn dan natuurkundigen.

**...**De polytechnicus Colonna, pionier op het gebied van computergeneratie van beelden, gebruikte onze vergelijkingen zonder hun oorsprong te vermelden. Maar er is een grappig detail: als je op een scherm een afbeelding van het Boyoppervlak ziet, en het is ons oppervlak, dan zal het onmiskenbaar drie lichte "plooien" tonen bij de polen. Een fout in het aanpassen van de vergelijkingen. Jérôme, zoon van Souriau, had het vlug gedaan, en een klein extra stukje metaal nabij de pool had nog wel kunnen helpen. Dat is trouwens nog steeds mogelijk voor wie dat wil.

**...**De geschiedenis van het Boyoppervlak is nog niet afgerond. Om compleet te zijn, noem ik nog een persoon: Carlo Bonomi, een Italiaanse miljardair. Ik had hem leren kennen tijdens een expeditie naar het Bermuda-driehoek (maar dat is een heel andere geschiedenis). We voeren toen snel over zijn luxe jacht, een schitterend vaartuig, op zoek naar een ondergedompelde piramide die werd genoemd in een boek van Charles Berlitz. We vonden de piramide niet, en hadden bijna door haaien verslonden worden, die deze plek bevolkten. Als je een atlas hebt, dan lag de vermeende "Atlantische Piramide" zuid-oostelijk van een rif genaamd Cay Sal Balk, op vijftig mijl ten zuiden van Cuba.

**...**Tussen twee duikbeurten en twee dineren met cavia, stelde ik Bonomi voor om een intensieve productie van Boyoppervlakken te sponsoren. Hij vond het idee leuk en er volgde een vervolg. Zeg maar dat het oppervlak in de wiskundesalon van het Palais de la Découverte in Parijs door Bonomi is betaald en door Sauze gemaakt. De financier overwoog een tentoonstelling te organiseren waarbij de objecten in massief goud werden vervaardigd. Maar de zaak liep niet door. Verbaasd over zijn lange stilte belde ik zijn kantoor in Milaan. Helaas, betrokken bij de P2-affaire, was hij gevangengezet en had zijn interesse in topologie een onherstelbare schade opgelopen.

**...**Het tweevoudige blad van het Boyoppervlak, dat het projectieve vlak P² weergeeft, is een bol S² (zie Topologicon). Pugh bouwde dit blad met twee lagen kippenkooi, een opmerkelijk object, hoewel ik persoonlijk het koperen draad en de meridiaan-parallelweergave liever vind. Maar ook in zuivere wiskunde geldt:

• De smaak is niet te bespreken.

**...**Voorafgaand aan de notitie, nog een laatste anekdote. Pugh had dus zeven modellen gemaakt van kippenkooi, waardoor hij een belangrijke prijs won, die de opeenvolgende stappen van het omkeren van de bol beschreven – daarover zal ik later vertellen als ik vijf minuten vind om het op de website te plaatsen – en die aan het plafond van de cafetaria van het wiskundeprogramma van de universiteit van Berkeley hingen.

**...**Wiskundigen over de hele wereld kwamen op pelgrimage om deze prachtige reeks te bewonderen. Maar een nacht werden de modellen gestolen en niemand weet wat er met de zeven objecten is gebeurd, die trouwens strikt onverkooibaar waren. Welke roofdief zou zo’n transactie hebben aangenomen? Tenzij een rijke amateur, half esthetisch, half wiskundig, de operatie had gefinancierd om ze in een geheime kelder op te bergen, alleen voor zijn eigen genoegen om deze achtste wereldwonder te bewonderen, ook al was het gemaakt van kippenkooi.

**...**Pugh, ondanks zijn meesterlijke beheersing van het materiaal, had de moed niet om een nieuwe serie te beginnen.

**...**Zoals we al eerder zeiden aan het begin van deze site, blijft het leven van Werner Boy een mysterie. Nadat hij het oppervlak had uitgevonden waaraan hij zijn naam zou verbinden, verdween hij letterlijk na zijn vertrek van de universiteit. Ondanks zijn onderzoek kon Hilbert zijn spoor niet terugvinden, en zelfs waar hij begraven ligt, is onbekend.

**...**Laten we nu weer teruggaan naar de wiskunde. De notitie hieronder is relatief makkelijk te lezen. Vanaf formule 1 tot en met 8 kan elke wakker geworden middelbare scholier mooie afbeeldingen maken en controleren of de doorsneden overeenkomen met figuur 5.

C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 oktober 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. - Een analytische weergave van het Boyoppervlak. Notitie van Jean-Pierre Petit en Jérôme Souriau, voorgelegd door André Lichnérowicz.

Er wordt een analytische weergave van het Boyoppervlak gepresenteerd, waarmee dit oppervlak kan worden getekend.

1. INLEIDING.
... Het in 1901 door de wiskundige Werner Boy, leerling van Hilbert, ontwikkelde oppervlak, is bekend bij wiskundigen. Het kan een centrale rol spelen bij het omkeren van de bol (zie [1] en [2]).

**...**In 1979 had J.P.P. een model gemaakt van metaaldraad, waarin de posities van de meridianen van het oppervlak werden benadrukt. Een tweede werk uit 1980 in samenwerking met de beeldhouwer Max Sauze liet een tweede model ontstaan, waarbij de lijnen in vlakken lagen en redelijk op ellipsen leken. Vanaf zo’n model leek het mogelijk een analytische weergave te bouwen van een oppervlak met de topologie van het Boyoppervlak, waarbij de meridianen ellipsen zijn die door één pool gaan.

2. HET OPBOUWEN VAN HET BOYOPPERVLAK MET ELLIPSEN.

**...**Plaats de pool in de oorsprong van de coördinaten. Op dat punt is het oppervlak raak aan het vlak (XOY). Het heeft dus de OZ-as als drievoudige symmetrieas (zie figuur 1). De meridianen zijn ellipsen in vlakken Pm. Laat OX1 de snijlijn zijn van vlak Pm met het vlak XOY. Noem m de hoek tussen OX en OX1. Plaats in vlak Pm een tweede as OZ1 loodrecht op OX1. Noem a de hoek tussen OZ en OZ1.

Fig. 1 en Fig. 2

**...**Het eerste parameter van deze analytische weergave is de hoek m. We beschouwen de hoek a als een functie van m (die later wordt gedefinieerd). In vlak Pm tekenen we nu een ellips die in O raakt aan OX1 (zie figuur 2). We nemen de assen van deze ellips evenwijdig aan de bisectrices van X1OZ1. Noem A(m) en B(m) de waarden van de assen van deze ellips. Deze ellips Em wordt gegenereerd door een tweede vrije parameter q.

**...**Kort samengevat: we krijgen de coördinaten X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) van het punt op het oppervlak.

**...**In deze semi-empirische aanpak maakte J.S. metingen aan het model, waardoor een benadering van de functies a(m), A(m) en B(m) mogelijk werd. Het oppervlak werd vervolgens getekend op een computer (Apple-II), en we verkregen doorsneden bij Z = constant. Door het onderzoek van deze doorsneden kon de topologische identiteit met het Boyoppervlak worden vastgesteld. Dit kon alleen bereikt worden door numerieke experimentatie (J.S.), die het elimineren van parasitaire singulariteiten mogelijk maakte (het verschijnen van paren kuspide punten).

**...**We kozen: (1) A(m) = 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)
(3)

**...**In het assenstelsel X1OZ1 zijn de coördinaten van het middelpunt van de ellips Em: (4)

(5)

**...**In dit zelfde assenstelsel zijn de coördinaten van een punt op de ellips: (6)

(7)

en de coördinaten x, y, z worden gegeven door:
(8)