Représentation analytique de la surface de Boy

f5101 Een analytische weergave van de Boyoppervlak J.P. Petit en J. Souriau .

**...**Hieronder een afbeelding van een notitie in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, ondertekend door J.P. Petit en J. Souriau, uit 1981.

**...**Dit werk heeft een geschiedenis. Totdat mijn album Topologicon verscheen bij Belin in de serie Aventures d'Anselme Lanturlu, in 1985, waren er weinig afbeeldingen van het Boyoppervlak in wetenschappelijke werken. Hier en daar vond men foto’s van modellen gemaakt van gips of met kippenkooi-materiaal. Charles Pugh van de afdeling wiskunde van de universiteit van Berkeley is wereldwijd de onbetwiste expert op het gebied van kippenkooi. Het was juist met dit materiaal dat hij een belangrijke prijs won, toen hij de modellen maakte die het omkeren van de bol volgens Bernard Morin beschreven, modellen die later digitaliseerden door Nelson Max, waarna ze werden omgezet tot een film die in elk wiskundelokaal ter wereld te vinden is.

**...**Maar ik vind dat kippenkooi een weinig nobel materiaal is, vooral voor zulke hoogwaardige wetenschappelijke onderwerpen. Nadat ik kennis had gemaakt met een plastisch kunstenaar genaamd Max Sauze, leerde ik de techniek van het koperen draad, zowel buigzaam als stijf, dat Max met vakkundigheid solderde zonder het te veel te verwarmen, zodat er geen onbedoelde spanningen in het materiaal ontstonden.

**...**Mijn vriend Jacques Boulier, alias Vasselin, was destijds docent aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Een jaar stelde hij voor dat ik een van zijn collega’s zou vervangen die naar het buitenland was vertrokken, wat ik deed, met een halfvoltijdse samenwerking met Sauze. Terwijl ik objecten ontwierp, solderde Max ze. Onze studenten, nieuwsgierig rond ons heen lopend, probeerden ons zo goed mogelijk na te bootsen. Die jaar werd het gebouw van de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence een soort productiefabriek voor wiskundige oppervlakken.

**...**Als je er zelf aan wilt beginnen, is het niet moeilijk. Je hebt een rol koperen draad nodig, bijvoorbeeld van 1,5 mm diameter, maximaal 2 mm, en een schaar. Daarmee kun je de twee families van lijnen weergeven die elk oppervlak vormen.

**...**Het probleem is het correct vormgeven van deze objecten. Daarbij is het handig om de verbindingspunten te kunnen verschuiven, waar de meridianen en parallellen elkaar snijden. Een goede oplossing is simpelweg de twee metalen draden met naald- en garen te binden. Het is stevig genoeg om het object vast te houden, maar voldoende glad om vervormingen en aanpassingen mogelijk te maken.

**...**Pas wanneer je denkt dat het object wiskundig voldoet aan je wensen, geef je het aan iemand die met vakkundigheid zilveren soldeert en de staven niet hoeft te verwarmen – zoals Max dat met meesterlijke vaardigheid kon doen.

**...**Op een dag bracht ik een prototype van het Boyoppervlak mee, waarbij ik had ontdekt hoe de meridianen en parallellen moesten worden geplaatst. Het leek erop dat men kon zorgen dat de meridianen bijna onherkenbaar waren als een familie ellipsen.

**...**Max maakte er een nauwkeurige kopie van. Ik ging toen naar Souriau. Zijn zoon (die nooit de geduld had om zijn natuurkundestudie af te maken) speelde met de Apple II van zijn vader. Ik zei:

• Jérôme, wil je graag een zuivere wiskundige publicatie op je naam?

• Waarom niet? Wie moet ik daarvoor doden?

• Niemand. Kijk naar dit object. Neem een gradenboog, meet die ellipsen en probeer een semi-empirische weergave van dit oppervlak te bouwen.

• We kunnen het proberen, geef maar...

**...**Twee dagen later was het klaar. Het artikel werd snel geaccepteerd door de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris en gepubliceerd onder onze twee namen: J.P. Petit en J. Souriau.

**...**Maar omdat de vader Jean-Marie heet en de zoon Jérôme, zijn alle wiskundigen ervan overtuigd dat dit werk samen door Souriau-père en ik is gemaakt.

**...**De computerweergave van het oppervlak met een klein BASIC-programma van een paar regels verbaasde talloze wiskundigen, die verwachtten iets veel complexer. Het had een onaangename uitwerking. De wiskundige Bernard Morin had een promovendus, Apéry, zoon van Apéry-père, auteur van het onvergetelijke theorema dat de som van de derdemachten van gehele getallen een irrationaal getal is. Enzovoort...

**...**Ik wist het niet. Onze vooruitgang maakte Morin erg ongerust, vooral omdat ik hem naïef verzekerde dat deze methode ook zou kunnen worden gebruikt om het vier-oren-oppervlak te beschrijven, dat hem beroemd had gemaakt – het oppervlak dat Pugh met kippenkooi had gebouwd en dat later door Max was digitaliseerd, enzovoort.

Morin fronste zijn wenkbrauwen:

• Nee, dat is onmogelijk!

**...**Dat zullen we later zien. Ik blijf ervan overtuigd dat het wel mogelijk is. Maar deze opmerking was het tegenovergestelde van de beroemde uitspraak die Archimedes riep tegen de Romeinse soldaat die hem stoorde in zijn nadenken – Noli tangere circuleos meos!
In het Frans: "Raak mijn cirkels niet aan!"

Hier was het meer: "Raak mijn ellipsen niet aan!"

**...**Later exploiteerde Apéry mijn ontdekking dat het Boyoppervlak een systeem van elliptische meridianen kon hebben, om de eerste impliciete vergelijking van het object te construeren:

f(x,y,z) = 0

**...**Morin, woedend dat ik in zijn eigen wiskundige werk als een opstandeling verscheen, dwong Apéry in zijn proefschrift aan te geven dat Sauze de ellipsen had gevonden. Max ontkende het niet, maar het is onjuist. De bewijsvoering ligt in mijn kelder: het model dat ik aan Max gaf om het netjes te maken.

**...**Tenslotte is dit allemaal een beetje belachelijk. Deze anekdote dient om aan te tonen dat wiskundigen niet slimmer zijn dan natuurkundigen.

**...**De polytechnicus Colonna, pionier op het gebied van computerbeelden, gebruikte onze vergelijkingen volledig, zonder hun oorsprong te vermelden. Maar er is een grappig detail: als je op een scherm een beeld van het Boyoppervlak ziet, en het is ons beeld, dan zal het onvermijdelijk drie kleine "plooien" nabij de pool vertonen. Een fout in de aanpassing van de vergelijkingen. Jérôme, zoon van Souriau, had het vlug gedaan, en een laatste klein stootje met de ijzeren staaf in de buurt van de pool zou niet zijn geweest. Maar het is nog steeds mogelijk, voor wie dat wil.

**...**De geschiedenis van het Boyoppervlak is nog niet afgerond. Om compleet te zijn, noem ik een persoon: Carlo Bonomi, een Italiaanse miljardair. Ik had hem leren kennen tijdens een expeditie naar het Bermuda-driehoek (maar dat is een ander verhaal). We voeren toen met hoge snelheid op zijn schitterende jacht, op zoek naar een ondergedoken piramide, genoemd in een boek van Charles Berlitz. We vonden de piramide niet, en zagen alleen maar dat we bijna opgegeten werden door de talrijke haaien die deze plek bevolkten. Als je een atlas hebt, dan lag de vermeende "Atlantische Piramide" ten zuidwesten van een rif genaamd Cay Sal Balk, op vijftig mijl ten zuiden van Cuba.

**...**Tussen twee duikbeurten en twee dineren met cavia, stelde ik Bonomi voor om intensieve productie van Boyoppervlakken te sponsoren. De gedachte beviel hem, en er volgde een vervolg. Zeg maar dat het Boyoppervlak in de wiskundesalon van het Palais de la Découverte in Parijs werd betaald door Bonomi en gemaakt door Sauze. De financier overwoog een tentoonstelling te organiseren waarbij de objecten in massief goud werden vervaardigd. Maar het bleef bij een idee. Verbaasd over zijn lange stilte belde ik zijn kantoor in Milaan. Helaas, betrokken bij de P2-affaire, was hij gevangengezet, en zijn interesse voor topologie had daar onherstelbare schade aan geleden.

**...**Het tweevoudige omhulsel van het Boyoppervlak, een afbeelding van het projectieve vlak P², is een bol S² (zie Topologicon). Pugh bouwde dit omhulsel met twee lagen kippenkooi, een opmerkelijk object, hoewel ik persoonlijk het koperen draad en de meridiaan-parallellen-weergave liever vind. Maar ook in zuivere wiskunde geldt:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Voorafgaand aan de notitie, nog een laatste anekdote. Pugh had dus zeven modellen gemaakt van kippenkooi, wat hem een belangrijke prijs opleverde, die de opeenvolgende stappen van het omkeren van de bol beschreven – daarover zal ik later vertellen als ik vijf minuten vind om het op de site te plaatsen – en die aan het plafond van de cafetaria van de afdeling wiskunde van de universiteit van Berkeley waren opgehangen.

**...**Wiskundigen over de hele wereld kwamen op pelgrimage om zich te verwonderen over deze uitstekende reeks. Maar op een nacht werden de modellen gestolen, en niemand weet wat er met de zeven objecten is gebeurd, die verder strikt onverkocht waren. Welke handelaar zou zoiets willen kopen? Tenzij een rijke amateur, half-estheet, half-wiskundige, de operatie had gefinancierd om ze in een bewaakte kelder op te bergen, alleen om zichzelf te kunnen genieten van het feit dat hij de enige man was die dit achtste wonder van de wereld kon bewonderen, ook al was het gemaakt van kippenkooi.

**...**Pugh, ondanks zijn meesterschap van het materiaal, had niet de moed om een nieuwe serie te beginnen.

**...**Zoals we al eerder zeiden aan het begin van deze site, blijft het leven van Werner Boy een mysterie. Na het uitvinden van het oppervlak dat zijn naam zou dragen, verdween hij letterlijk na zijn vertrek van de universiteit. Ondanks zijn onderzoek kon Hilberth zijn spoor niet terugvinden, en zelfs zijn graf is onbekend.

**...**Laten we terugkeren naar de wiskunde. De notitie hieronder is relatief makkelijk te lezen. Vanaf formules 1 tot 8 kan elke wakker leraar in het middelbare onderwijs mooie afbeeldingen maken en controleren of de doorsneden overeenkomen met figuur 5.

C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 oktober 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. – Een analytische weergave van het Boyoppervlak. Notitie van Jean-Pierre Petit en Jérôme Souriau, voorgelegd door André Lichnérowicz.

Er wordt een analytische weergave van het Boyoppervlak gepresenteerd, waarmee dit oppervlak kan worden getekend.

1. INLEIDING.
... Het in 1901 door de wiskundige Werner Boy, leerling van Hilberth, ontwikkelde oppervlak, is bekend bij wiskundigen. Het kan een centrale rol spelen bij het omkeren van de bol (zie [1] en [2]).

**...**In 1979 had (J.P.P.) een model gemaakt van metaaldraad, waarbij de posities van de meridianen van het oppervlak werden benadrukt. Een tweede werk uit 1980 in samenwerking met de beeldhouwer Max Sauze liet een tweede model zien waarin de lijnen in vlakken lagen en aanzienlijk leken op ellipsen. Vanaf zo’n model leek het mogelijk om een analytische weergave te bouwen van een oppervlak met de topologie van het Boyoppervlak, waarbij de meridianen ellipsen zijn die door één pool gaan.

2. HET OPBOUWEN VAN HET BOYOPPERVLAK MET ELLIPSEN.

**...**Plaats de pool in de oorsprong van de coördinaten. Op dat punt is het oppervlak raak aan het vlak (XOY). Het heeft dus de OZ-as als drievoudige symmetrieas (zie figuur 1). De meridianen zijn ellipsen in vlakken Pm. Laat OX1 de snijlijn zijn van vlak Pm met het vlak XOY. Noem m de hoek (OX, OX1). Plaats in dit vlak Pm een tweede as OZ1 loodrecht op OX1. Noem a de hoek (OZ, OZ1).

Figuur 1 en Figuur 2

**...**Het eerste parameter van deze analytische weergave is de hoek m. We beschouwen de hoek a als een functie van m (die later wordt gedefinieerd). In het vlak Pm tekenen we nu een ellips die in O raakt aan OX1 (zie figuur 2). We kiezen de assen van deze ellips evenwijdig aan de bisectrices van X1OZ1. Noem A(m) en B(m) de waarden van de assen van deze ellips. Deze ellips Em wordt gegenereerd door een tweede vrije parameter q.

**...**Kort samengevat: we krijgen de coördinaten X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) van het punt op het oppervlak.

**...**In deze semi-empirische aanpak maakte (J.S.) metingen aan het model, waarmee hij benaderingen vond voor de functies a(m), A(m) en B(m). Het oppervlak werd toen getekend op een computer (Apple-II), en we verkregen doorsneden bij Z = constant. Het onderzoek van deze doorsneden liet de topologische identiteit met het Boyoppervlak zien. Dit kon alleen worden bereikt door numerieke experimentatie (J.S.), die het elimineren van parazitaire singulariteiten (het verschijnen van paren kuspide punten) mogelijk maakte.

**...**We kozen:
(1) A(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)
(2) B(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)
(3)

**...**In het assenstelsel X1 O Z1 zijn de coördinaten van het middelpunt van de ellips Em:
(4)

(5)

**...**In ditzelfde assenstelsel zijn de coördinaten van het punt op de ellips:
(6)

(7)

en de coördinaten x, y, z worden gegeven door:
(8)