Laten we terugkeren naar deze klasse van homotopieën van inbeddingen van de torus in R3. We kunnen eenvoudig de twee objecten die hier worden getoond verbinden via een "C-transformatie". We nemen een torus en "doorkruisen" deze op één plek, waardoor een lijn van dubbele punten ontstaat die een cirkel is: 
Ik heb "twee kleuren" gebruikt: grijs voor het buitenste deel van de torus, wit voor het binnenste. De bovenstaande zelfdoorkruising (die leidt tot één van de oneindig veel mogelijke inbeddingen van de "standaardtorus") zorgt dus voor een wit deel van het oppervlak.
Bekijk dit object vanaf een punt op de as van de torus:
Bovenin zien we het binnenste (witte) deel van de torus dat door de zelfdoorkruising zichtbaar is geworden. We kunnen nu een "C-transformatie" uitvoeren en twee cuspidale punten creëren: 
Op de plek aangegeven door de pijl "drukt" men een opening samen. Deze bewerking creëert twee cuspidale punten C1 en C2:
die we vervolgens kunnen verplaatsen zoals hieronder:
Er blijft nog een C⁻¹-transformatie (samenvoeging van twee cuspidale punten) over:
We krijgen het object: 
Deze inbedding van de torus is homotoop aan de standaardtorus.
Men ziet dat deze bewerking "C" en haar omgekeerde "C⁻¹", die het universum van inbeddingen uitbreiden naar dat van oppervlakkenverschuivingen in R3, interessante dingen mogelijk maken. Men kan het geheel van verschuivingen van klassieke oppervlakken (sfeer, projectieve vlak, torus en Klein-fles) construeren. Hoeveel klassen heeft dit geheel?
We hebben gezien dat de sfeer en het projectieve vlak tot dezelfde klasse behoren (zoals ook de rechter- en linker-Boyoppervlak). Hoeveel klassen van verschuivingen heeft de torus? Ik denk, tenzij ik me vergis, dat dit probleem momenteel nog niet opgelost is. Kan men via C-bewerkingen van de ene klasse inbedding van de torus naar een andere gaan, of niet? Intuïtief zou ik zeggen van niet, maar dat is slechts een vermoeden.
Een constructie kan geen onmogelijkheid bewijzen, maar wel een mogelijkheid illustreren. Als iemand constructies vindt die het overspringen van klassen mogelijk maken, is het theorema daadwerkelijk bewezen, maar het feit dat men dergelijke constructies niet vindt, is per se geen bewijs. Het ontbreken van bewijs is geen bewijs van ontbreken. Zeggen dat er vier klassen verschuiving van de torus in R3 zijn, of zeggen dat er slechts één is, zijn beide vermoedens, gewoon geloof, op dit moment.
Het blijkt dat Smale eerst bewees dat het omkeren van de sfeer mogelijk was, voordat Phillips de eerste constructie gaf. Het had net zo goed andersom kunnen zijn. Maar wie zou er ooit de gedachte hebben gekregen om zoiets te proberen, in tegenspraak met onze geometrische intuïtie?
De C-transformatie kan een sfeer omvormen tot een Cross-cap, vervolgens tot een Boy-oppervlak via het Steiner-oppervlak. Zie het artikel. Kan deze transformatie een torus omvormen tot een Klein-fles? Logisch ja, maar ik heb op dit moment geen antwoord op deze vraag.
Terzijde: waarom praten we over "projectief vlak"? De getoonde objecten (éénzijdige oppervlakken) zijn eindig. Antwoord van Souriau:
- Op een vlak hebben we "de rechte van oneindig". We plakken dit vlak simpelweg samen langs de rechte van oneindig.
Die, zoals vanzelfsprekend, een gesloten kromme is.
In het Topologicon vindt men een klein animatie-afbeelding, een "feuilletable", die laat zien hoe een Möbius-streep met drie halve omwentelingen kan worden omgevormd tot een Boy-oppervlak. De laatste afbeelding toont dit oppervlak, minus een schijf. Het volstaat om deze schijf toe te voegen om het oppervlak compleet te maken. Een Boy-oppervlak is dus een Möbius-streep plus een schijf. Oefening: gebruik de hulpmiddelen van het Topologicon om de Euler-Poincaré-karakteristiek (die 1 is) opnieuw uit te rekenen.
Omgekeerd zou men kunnen beginnen met een schijf en deze laten groeien, terwijl hij zichzelf doorkruist, tot hij zich uiteindelijk aan de Möbius-streep met drie halve omwentelingen hecht. Dat is een andere constructie.
Ik heb de tekeningen teruggevonden in mijn 55-pagina's lange presentatie tijdens het colloquium over psychoanalyse van Lacan in Aix-en-Provence (4 en 5 april 1987), gewijd aan "Perversie", en die voorkomt in de uitgegeven notulen door de organisatoren. Ik zal dit tekst gebruiken in een toekomstig document getiteld "JPP bij Lacan".
Eerste afbeelding: de schijf die zich kronkelt.
Daarna, begin van het ontstaan van het zelfintersectie-geheel:
Volgende afbeelding: verschijning van het drievoudig punt:
Ik stopt met schaduwen, omdat het oppervlak op het punt staat om éénzijdig te worden.
Daarna is het oppervlak klaar om zichzelf langs zijn rand te herplakken:
Hier wordt de Möbius-streep met drie halve omwentelingen getoond, die het oppervlak afmaakt:
Volgende afbeelding: dezelfde Möbius-streep.
Vervolgens het volledig gevormde Boy-oppervlak. Men kan niet zeggen, zoals bij de afbeeldingen in het Topologicon, "dat men het van onderaf ziet", want een Boy-oppervlak heeft geen voorkant of achterkant. Zeggen we dat men op deze manier het drievoudig punt ziet.
Daarna, het zelfintersectie-geheel: 
U hebt dus gezien hoe het vlak zich op zijn "rechte van oneindig" vouwt. Daarom heet het "projectief vlak", wat aanvankelijk een vreemde naam lijkt. Misschien is dit de eerste keer dat mensen het oneindige zo dichtbij zien.
Deze afbeeldingen waren al meer dan twintig jaar geleden gemaakt, en nu biedt deze website of cd eindelijk de mogelijkheid om ze te tonen. De lezer zal zich misschien afvragen waarom ze niet verschenen in "Pour la Science" of "La Recherche". Het is niet omdat ik geen artikelen naar deze tijdschriften heb gestuurd, maar de redacties vonden het onderwerp niet interessant.
Ik hoop dat u met dit "geometrisch gereedschapskistje" snel nieuwe oppervlakken gaat uitvinden. Hier is er een, bedacht door mevrouw Ivars. Neem een sfeer en druk in twee diametraal tegenoverliggende richtingen twee segmenten van gelijke lengte in tot ze elkaar raken, alsof deze zijn gesoldeerd aan twee staven, zoals hier:
Als de segmenten elkaar raken, vindt er een "chirurgie" plaats. Er ontstaat een kruising van bladen langs het segment, en twee kegelvormige punten aan elk einde. Hieronder het oppervlak in doorsnede.
Hetzelfde, in perspectief:
In het gereedschapskistje voor het maken van oppervlakken: een "plumbing-element":
Als men een vloeistof door een opening laat stromen, die fungeert als ingang, komt deze uit aan de buitenkant van de uitgangspijp. Maar men kan de uitgang ook gebruiken als ingang. Het effect is dan hetzelfde. Het object is een soort geometrische operator die buitenste in binnenste omzet.
Als men deze "verbinding" zelf sluit, krijgt men een Klein-fles:
Maar hier is een andere opstelling:
Hetzelfde, in perspectief:
Het oppervlak is nu tweezijdig. Welk oppervlak is dat?
Via een reguliere homotopie, een continue reeks inbeddingen, transformeren we het naar dit:
U herkent een doos met een handgreep, maar die alleen van binnenuit kan worden geopend. Men kan het object nu veranderen. Het volstaat om een touw door het gat te halen en er aan te trekken:
Het resultaat is:
Een torus.
Uw beurt nu om met de volgende opstelling te spelen:
gemaakt met drie van deze "verbindingen".
We zullen in een ander artikel zien hoe nuttig deze "verbindingen" zijn bij het omkeren van de sfeer.