Vente Surface De Boy

Document zonder naam

30 december 2009

Ik heb het oppervlak van Boy verkocht dat ik had gemaakt

Klaar: dit object van een meter veertig in doorsnede is vandaag naar België vertrokken, gekocht door een arts, Pierre, die bovendien trouwe lezer is van de stripverhalen van Lanturlu en het object al kende door het lezen van het album Le Topologicon, gratis te downloaden op de website van Savoir sans Frontières op:

****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm

Le Topologicon wordt genoemd op de Wikipedia-pagina, maar de link leidt niet naar de downloadpagina van de website Savoir sans Frontières, wat jammer is. Iemand kan misschien deze link toevoegen, maar ikzelf kan het niet meer, omdat ik in oktober 2006 "voor altijd verbannen" werd van Wikipedia (omdat ik de identiteit van een medewerker onthulde, een voormalig student van de École Normale Supérieure, die dankzij zijn doctoraat in theoretische natuurkunde over superstrings een baan in een bank had gekregen).

Dit object stond vijfentwintig jaar tentoongesteld in de "zaal pi" van het Palais de la Découverte in Parijs. Ik had het enkele jaren geleden teruggehaald, toen de directie van het Palais wilde installeren in die zaal een klein houten amphitheater. Ik koos ervoor het terug te halen, voordat het zou worden verpletterd, opgeslagen in een opslagruimte, als "verbruikbare wetenschap".

Toen er in het Palais een tentoonstelling werd gehouden over de verschillende theorieën over de bouw van de piramides, hadden de ateliers een mooie maquette gemaakt, van 50 bij 50 cm, die de hoekstukken van mijn steenrijzende helling liet zien. Ik wilde het object terugkrijgen, maar tot nu toe is het verloren gegaan. Of misschien is het als verbruikbare wetenschap in een vuilnisbak terechtgekomen. Misschien kan een lezer me daarover informeren?

Als je de Cité des Sciences bezoekt, word je getroffen door de overheersing van het virtuele, van plasma-schermen die dit of dat tonen. Zo ver dat je je afvraagt: "Waarom zou ik hier komen, terwijl ik dit net zo goed thuis kan bekijken via internet?"

Virtuele werelden, verbruikbare wetenschap, heb jij dan een ziel?

Dat is in de mode.

Waarom is het oppervlak van Boy belangrijk in de wiskunde? Binnen de categorie van gesloten, tweedimensionale oppervlakken zonder singuliere punten, zijn er maar vier:

De eerste drie waren ons al lang bekend. Het vierde was mysterieuzer. Pas aan het eind van de jaren zeventig, toen ik beeldhouwer was aan de École des Beaux Arts in Aix-en-Provence, bouwde ik de eerste representatie van dit oppervlak met twee families van krommen, equivalent aan de meridiaan-parallel verzamelingen van de bol S2. Zoals te zien is in de strip, is het oppervlak dat door de Duitse wiskundige Werner Boy, leerling van Hilbert, werd uitgevonden, het resultaat van de afbeelding van punten van een bol op elkaar, waarbij elk punt wordt samengevoegd met zijn antipode. Zo wordt het noordpoolpunt samengevoegd met het zuidpoolpunt. De meridianen van de bol "wikkelen zich om de meridianen van het oppervlak van Boy".

Ik had meteen het idee om één van de families van krommen te identificeren met ellipsen.

Toen kon de jonge Jérôme Souriau gebruikmaken van de Apple II van zijn wiskundige vader. Op een dag zei ik tegen hem:

*- Wil je voor mij een werk uitvoeren dat ons zou kunnen opleveren in de wiskunde? *

En Jérôme antwoordde:

*- Wie moet ik daarvoor doden? *

Het ging simpelweg om meting uit te voeren op ellipsen, met een geodriehoek en een liniaal, om krommen te construeren, en hun representatie te maken met een reeks van Fourier. Hij maakte het werk in een middag. Het verslag in de Comptes rendus de l'Académie des Sciences van Parijs ging zonder problemen. Zie deze weergave van het verslag

Deze vergelijkingen stelden Colonna, leider van het eerste atelier voor beeldsynthese van het École Polytechnique van Parijs, in staat om de eerste beelden van het object te produceren, maar zonder vermelding van de vergelijkingen die hij had gebruikt (een gedrag dat vrij gebruikelijk is binnen de "wetenschappelijke gemeenschap").

Afbeelding gemaakt op basis van de representatie JP PETIT - Jérôme Souriau, met zijn drie lelijke plooien, veroorzaakt door een gebrek aan afwerking in de Fourier-representatie.

Daarna verschenen er veel parametrisaties. Hieronder de representatie van R. Bryant:

De tweede ontdekking, de parametrisatie met elliptische meridianen, stelde de wiskundige Apéry, leerling van de wiskundige Bernard Morin uit Straatsburg, in staat om de eerste impliciete representatie van het oppervlak te bouwen, van de zesde graad. (In zijn doctoraalscriptie wijst hij deze uitvinding toe aan de plastisch kunstenaar Max Sauze, doctor in lassen van zilver):

f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0

ontzettend ingewikkeld.

Afbeelding van het oppervlak van Boy, opgebouwd met behulp van de impliciete representatie van Apéry, met de "elliptische meridianen" van J.P. Petit

Op de Wikipedia-pagina, op deze pagina, vindt u een animatie, geïnspireerd door het flipbook dat u in Le Topologicon (1988) kunt vinden. Hetzelfde geldt voor de polyhedrale representatie van het oppervlak (ook een uitvinding van uw dienaar, ook aanwezig in het album), met afgeronde hoeken.

In 1988 gaf de wiskundige Brehm een andere polyhedrale representatie, met tien vlakken, en een stelling stelt dat het object niet minder dan negen vlakken kan hebben....

Polyhedron van Brehm

De smaak is niet te bespreken.

Laten we terugkeren naar de representatie van Apéry, de enige bekende impliciete representatie. Waarom is dit oppervlak zo onharmonieus (en dus zijn vergelijking zo ingewikkeld)?

Apéry, geleid door Morin, heeft de driedubbele symmetrie van het object niet benut. De vergelijking stelt de OZ-as als symmetrie-as; dat is een fout. Een beter resultaat had men kunnen bereiken door als symmetrie-as het vector (1,1,1) te kiezen. De driedubbele symmetrie zou dan een vergelijking hebben die invariant is onder wisseling van de coördinaten x, y, z. Bovendien, door de oorsprong van de coördinaten te plaatsen op het drievoudige punt en te besluiten dat de drie raakvlakken aan het oppervlak de hoofdvlakken zijn, zouden de termen van orde twee, één en nul verdwijnen, en de term van orde drie zou worden herleid tot

x y z

Zo’n symmetrie wordt gebruikt in het oppervlak dat in 1844 werd ontdekt door Steiner in de stad Rome, later het Romeinse oppervlak van Steiner genoemd, waarvan de vergelijking is:

Een blik op het oppervlak:

Het Romeinse oppervlak van Steiner

Ook samengesteld uit ellipsen, is het, net als dat laatste, eenzijdig, dus onverteerbaar:

Families van ellipsen van het Romeinse oppervlak

Het Romeinse oppervlak is "noch rechts, noch links", terwijl er twee versies van de Boy bestaan, enantiomorf, spiegelbeeldig. Een "rechter" Boy en een "linker" Boy. In 2003 (hoe snel de tijd vliegt) had ik tijdens een seminarie in het departement van meetkunde van de Faculté de Saint Jérôme in Marseille laten zien dat een rechter Boy kon worden getransformeerd in een linker Boy via een Romeins oppervlak van Steiner.

/legacy/wetenschap/wiskunde_f/Crosscap_Boy1.htm

De auteur geeft een seminarie in wiskunde.

Sommige lezers beheersen de infografische tools goed. Door het aangegeven dossier te volgen, te scannen en interpoleren, is het mogelijk om de animatie samen te stellen. Als iemand daar zin in heeft...

Animaties zijn leuk. Ik had deze gemaakt met het CAD-software dat ik had ontwikkeld: Screen, die de centrale stap van het omkeren van een kubus toont (alias de polyhedrale versie van het vier-oren-model van Morin)

De centrale stap van het omkeren van de kubus

Er zijn nog veel dingen te doen in dit domein. Ik wil alleen een aanwijzing geven voor kandidaten voor een doctoraat in wiskunde. Er bestaat een impliciete representatie van het oppervlak van Boy waarbij de meridianen ellipsen zijn, en deze vergelijking zal in de geschiedenis van de wiskunde worden geciteerd, evenals de naam van degene die hem uit zijn gietvorm zal halen. Die moet nog worden gevonden. Startpunt: gebruik de driedubbele symmetrie zoals hierboven aangegeven.

Goede jacht....

Zo is het oppervlak van Boy dat het Palais de la Découverte in de zaal pi had versierd, naar België vertrokken. Ik had graag gezien dat er een monumentale, "doorloopbare" sculptuur van twintig meter hoog zou worden gemaakt. Dat zou tenminste iets hebben gehad. Maar nee, schilders van de bakermat hebben dit gebied gevuld met sculpturen zonder ziel, zonder structuur, ontbloot van elke rijkdom.

Maar ik heb geen foto van dit fantastische object bewaard. U zult begrijpen waarom ---

Nieuwigheden Gids (Inhoudsopgave) Startpagina

Afbeeldingen