Astrofysica en N-deeltjesystemen

**Project Epistémotron ** **1 **

Algemene principes van het N-deeltjesprobleem Enkele begrippen uit de kinetische theorie van gassen

De astrofysica is in principe een wetenschap die zich ten doel stelt de fenomenen in het heelal te begrijpen, op verschillende schalen. Zo is er bijvoorbeeld de manier waarop het zonnestelsel is ontstaan, een werk dat volledig fascinerend is en nooit eerder is gedaan. Dat zal een van de doelstellingen zijn in het Epistémotron-project, en deze werkzaamheden zullen de theorie van de wiskundige Jean-Marie Souriau concretiseren.

Op een grotere schaal vinden we de sterrenstelsel-dynamica, die tot op heden volledig ondoorzichtig is. We hebben geen model van een sterrenstelsel. We weten niet hoe deze objecten ontstaan of hoe ze evolueren. Theoretisch worden deze "N-deeltjes systemen, zelfzwaarwerend" beheerst door een stelsel van differentiaalvergelijkingen (Vlasov plus Poisson). Tot nu toe zijn deze benaderingen (die de huidige "theoretici" zelfs niet meer kennen) ook tegen een muur gelopen.

De oplossing lijkt ons te liggen in een nieuwe visie op het heelal, een tweelingvisie. De geïnteresseerde lezer vindt een inleiding tot dit thema in een dossier dat al jaren op mijn site staat. Concreet komt dit erop neer dat het universum twee componenten heeft:

- Deeltjes met positieve energie, de onze

- Deeltjes met negatieve energie, de tweelingen.

Aangezien E = m c2 gedragen deeltjes met negatieve energie zich alsof ze een negatieve massa hebben. We krijgen dus het volgende dynamische schema:

- Twee positieve massa's trekken elkaar aan volgens de wet van Newton

- Twee negatieve massa's trekken elkaar aan volgens de wet van Newton

- Twee massa's met tegengestelde tekens stoten elkaar af volgens "anti-Newton".

Waarom zien we de deeltjes met negatieve energie niet optisch? Omdat de interactie tussen twee deeltjes met tegengestelde energie via de elektromagnetische interactie simpelweg onmogelijk is. Zoals recentelijk is aangetoond door een jong en briljant onderzoeker, moeten deze twee deeltjes volgens de kwantumveldentheorie bij een dergelijke interactie "virtuele deeltjes" of "dragers" uitwisselen, die positieve en negatieve energie-fotonen zijn. De aanpak van alle mogelijke interacties via de Feynman-padintegraal leidt in dit geval tot een resultaat .. nul. De interactie is dus simpelweg onmogelijk en de tweelingdeeltjes blijven voor ons onzichtbaar. Ze kunnen ons ook doorheen gaan zonder enige andere interactie dan de zwaartekracht (of liever: antizwaartekracht). Deze idee is de sleutel tot alle grote problemen in de astrofysica en kosmologie van nu (ontbrekende massa, rotatiecurves van sterrenstelsels, vorming van sterrenstelsels, oorsprong van de grote-schaalstructuur van het universum). De lezer vindt een populair geformuleerde presentatie van deze ideeën in mijn boek uit 1997:

Algemene informatie, onder andere over gravitationele onstabiliteit, is te vinden in mijn strip "Mille Milliards de Soleils", beschikbaar op de CD-ROM "Lanturlu1" in pdf-formaat, afdrukbare (men kan de 18 strips verkrijgen door 16 euro te sturen naar J.P.PETIT, bij Jacques Legalland, Lou Garagai, 13770 Venelles.

Verschillende mechanismen spelen zich af in het heelal naast de zwaartekracht. Maar in alles wat volgt zullen we ons richten op dit ene mechanisme, terwijl we stralingsoverdracht en energieproductie door fusie negeren. De systemen die we zullen bestuderen zijn "N-deeltjes systemen", zelfzwaarwerend, drijvend in hun eigen zwaartekrachtsveld. Men ziet dat om het gedrag van zo'n systeem te bestuderen, stap voor stap, de beweging van elk "massapunt" (met positieve of negatieve massa) moet worden bestudeerd door de vectoriële som van alle zwaartekracht-afstotende krachten van de andere N-1 deeltjes te berekenen. De berekeningstijd zal dus, in een brute manier, groeien volgens N(N-1) of N2 als N groot is, wat altijd het geval zal zijn.

In een planetair of proto-planetair systeem is het aantal objecten relatief klein en kan worden beheerd door één enkele "domestische" computer. Dat is niet het geval voor een sterrenstelsel. Ons sterrenstelsel bestaat uit honderd tot tweehonderd miljard sterren, die kunnen worden geïnterpreteerd als massapunten. Deze massa van sterren kan dan worden geïnterpreteerd als een gas, waarvan de moleculen de sterren zelf zijn, geïnterpreteerd als eenvoudige massapunten. Om zo dicht mogelijk bij "de werkelijkheid" te komen, moeten we dus proberen het grootste aantal massapunten mogelijk te beheren. Deze technieken zijn al in de jaren zestig toegepast. Gelukkig is de snelheid van computers en hun rekenkracht de afgelopen jaren alleen maar toegenomen. Zo kon ik in de jaren negentig berekeningen laten uitvoeren op een grote computer die, in het Duitse DAISY-centrum (deeltjesversneller), de gegevens van experimenten beheerde. Op dat moment was een dergelijke machine, beschouwd als uitzonderlijk krachtig, in staat om 5000 massapunten te beheren. De lezer vindt in het bovenstaande werk de essentiële resultaten van deze numerieke experimenten.

Het blijkt dat de informatietechnologie in twaalf jaar zulke vooruitgang heeft gemaakt dat deze problemen nu kunnen worden behandeld op "domestische" machines, dankzij de aanzienlijke toename van hun berekeningsnelheid (klok in 2 gigahertz) en hun centrale geheugen. Lezers zoals Olivier le Roy konden dus enkele essentiële, eenvoudige aspecten, zoals het mechanisme van de gravitationele onstabiliteit, herontdekken door hun eigen machine in C++ te programmeren. Terwijl ik, uit vermoeidheid, in 2001 volledig had afgezien van de astrofysica, hebben deze individuele initiatieven me aangemoedigd om een onderzoek op te starten dat gebaseerd is op de inspanningen van ... amateurs. Inderdaad, sinds twaalf jaar, zoals de academici en astrofysicus Jean-Claude Pecker opmerkte na mijn voordracht op 25 februari aan het Collège de France, is het verbazingwekkend en jammer dat teams met passende middelen deze idee niet hebben opgepakt, en nog steeds slecht met "koude donkere materie" bezig zijn.

Daarom voel ik me verplicht om aan al deze mensen die "wilskrachtig" willen zijn, alle noodzakelijke elementen te verstrekken om verder te kunnen gaan in deze richting. Veel berekeningen zijn mogelijk met één machine en een aantal punten onder de 2000-5000. Dit beperkt het werk tot tweedimensionale simulaties. In 3D kan men geen groep van enkele duizenden punten als een "gas" beschouwen. Daarnaast ontstaat een fantastisch project: meerdere machines laten samenwerken met een techniek van "gedeelde berekening". Dat is dan een delicate ontwikkelingsvraag, puur informatica.

Beheer van een N-deeltjesprobleem.

We hebben massapunten en beginvoorwaarden die in 3D samengevat zijn in zes getallen (drie positiecoördinaten en drie snelheidscomponenten) en in twee dimensies in vier getallen (twee positiecoördinaten en twee snelheidscomponenten). We moeten ons ook bepalen in een berekeningsruimte en omgaan met randvoorwaarden (een computer kan geen oneindige ruimte beheren). Vervolgens moeten we het berekeningsinterval en de tijdstap Dt zo goed mogelijk instellen. Laten we beginnen met een zeer schematische visie. Stel een 2D berekeningsruimte voor, oneindig. Wat wiskundigen R2 noemen. In deze ruimte plaatsen we N punten met initiële positie en snelheid. Neem één van de deeltjes (gemarkeerd in zwart) en bereken de resultante (Fx, Fy, Fz) van de krachten die op dit deeltje worden uitgeoefend door de andere N-1 deeltjes. Vervolgens berekenen we de nieuwe positie en de nieuwe snelheid van dit deeltje met behulp van een Taylor-ontwikkeling.

Er doet zich onmiddellijk een probleem voor: hoe kiezen we het tijdsinterval Dt? Het redeneren is eenvoudig. We kunnen de beweging van de N deeltjes niet tegelijkertijd beheren. We zijn genoodzaakt het zwaartekrachtsveld tijdens Dt "bevroren" te houden. Voer een berekeningsstap uit en teken de baan van de deeltjes in dit "bevroren" veld met behulp van de hierboven gegeven Taylor-ontwikkeling. Hun beweging zal uiteindelijk de lokale verdeling van het veld wijzigen. De berekening is geldig als het veld "niet te veel verandert". Aan het oog zal de massa-verdeling "niet te veel variëren" gedurende Dt. Geef een 2D-afbeelding. Stel dat je loodkogels op een schuimmatras legt. Deze zullen de oppervlakte vervormen. Een opeenhoping van kogels creëert lokaal een kuil. We hebben een materiële weergave van het zwaartekrachtsveld in de vorm van een oppervlak. Het is ook een goede didactische afbeelding van een "zelfzwaarwerend" systeem, omdat de kogels bewegen op een oppervlak dat zij zelf vormen.

Het analoge berekeningsproces bestaat erin een andere "kaart" te creëren door de verplaatsing van alle kogels op deze veronderstelde stijve, bevroren schuimmatras te berekenen. We krijgen een andere verdeling van kogels, die we dan op een identieke schuimmatras leggen. Deze zal dan gaan zinken. We beschouwen de berekeningsstap als acceptabel klein als de oppervlakken globaal dicht bij elkaar liggen.

Merk op dat we dezelfde criteria zouden toepassen als we een groep van vijf sterren beschouwen die een mini-cluster vormen, verbonden door de zwaartekracht. Op het moment t creëren ze een zwaartekrachtsveld g(r,t). We kunnen de verplaatsing van elk van hen berekenen gedurende een tijd en hetzelfde veld g'(r + Dt) opnieuw berekenen. De berekening is geldig als tijdens dit interval de twee velden "voldoende dicht bij elkaar" liggen.

Natuurlijk, hoe kleiner de stap, hoe sneller de berekening, maar hoe groter de fout. In hetgeen erop volgt zullen we ons richten op het gedrag van systemen waar N groot is en zelfs zo groot mogelijk. Minstens enkele duizenden massapunten. Wanneer het mogelijk is om te werken met "gedeelde berekening": enkele miljoenen massapunten (wat ons de deuren zal openen voor een geldige 3D). Men ziet meteen wat er wordt nagestreefd: het beheer van dit massapuntensysteem als een gas van deeltjes. Deze idee lijkt ons intuïtief als het gaat om een massa interstellaire gas. Maar het zal ook het geval zijn voor het geheel van sterren dat een sterrenstelsel vormt. Ons sterrenstelsel bevat tussen honderd en tweehonderd miljard sterren. Tien keer zoveel voor een elliptisch sterrenstelsel. Op onze perceptie-schaal lijkt ons sterrenstelsel zeer verdund. De afstanden tussen de dichtstbijzijnde sterren liggen in lichtjaar. Maar het is een zeer kleine afstand op de schaal van het sterrenstelsel zelf, dat een diameter heeft van ongeveer honderd duizend lichtjaar. Honderd lichtjaar is het duizendste deel van de diameter van een sterrenstelsel. En een dergelijke ruimte bevat een groot aantal sterren. Op de schaal van honderd lichtjaar lijkt een sterrenstelsel een gasachtige massa. Vroeger, toen we alleen maar wiskundige instrumenten hadden, probeerden we deze objecten te beschrijven met continue functies.

Natuurlijke evolutie van een N-deeltjes systeem.

Momenteel hebben we een berekeningsruimte ... onbegrensd. Stel dat we in 2D zijn. U kunt de toestand van het systeem op uw scherm visualiseren. Als u gelijktijdig informatie over positie en snelheid wilt hebben, kunt u de massapunten bijvoorbeeld voorstellen als zwarte vlekken, gekoppeld aan een klein streepje, een klein segment dat hun snelheidsvector vertegenwoordigt. Hoewel u deze objecten als puntmassa's behandelt, is er niets dat u tegenhoudt om punten groter of kleiner te maken, afhankelijk van hun massa. Om dichter bij de werkelijkheid te komen, kunt u besluiten kleine zwarte confetti te gebruiken waarvan de straal groeit als de derdemachtswortel van de massa.

Wat is een tweede-deeltjes systeem? A priori is het een stabiel systeem. Ik denk dat je je eigen programma's moet maken om de fenomenen zelf te manipuleren en ze onder ogen te hebben. Als u twee massa's M en m neemt die sterk verschillen, krijgt u een planeet die om een ster draait. Ik herinner u eraan dat het verschil tussen de massa van de Zon (2 1030 kg) en die van de Aarde (6 1024 kg) een factor van 333.333 is, drie honderdduizend. Aangezien Jupiter 317 keer zwaarder is dan de Aarde, is het massa-verhouding van de Zon tot Jupiter ongeveer 1000.

Ik raad u aan om in de tussentijd het Woordenboek van de Astronomie van Larousse te kopen, waar u talloze waarden van vrijwel alles kunt vinden.

Als u een tweede-deeltjes probleem start met een "Zon" en een "Jupiter", krijgt u bijna de wetten van Kepler, als u de ster op een voldoende afstand plaatst (de baan van Jupiter ligt in de buurt van 800.000.000 km). In de astronomie redeneren we in termen van AE, astronomische eenheden. Een AE is de gemiddelde afstand Aarde-Zon, ongeveer 150 miljoen km. De straal van de Jupiterbaan is dus 5,2 AE.

In deze omstandigheden is de ster praktisch stilstaand, terwijl bij een tweede-deeltjes systeem beide objecten om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien. Oefeningen die u kunt doen: verander het massa-verhouding, breng de planeet dichter bij de ster. Kijk hoe alles werkt, altijd met de achtergrond van de keuze van een "voldoende kleine" tijdstap zodat het resultaat "betekenisvol" is. Er zijn natuurlijk al jaren bestaande programma's die dergelijke dingen geven. Maar het voordeel is dat u dingen maakt waar u "met uw handen in kunt steken". Dan gaan we naar een drie-deeltjes systeem en daar verandert het gedrag radicaal. Deze systemen zijn instabiel. Tenzij u twee kleine planeten in een baan rond een ster plaatst, als de massa's vergelijkbaar zijn, draaien de objecten rond en op een gegeven moment wordt één van de drie uitgeworpen. U kunt dit vrij eenvoudig bereiken door uw parameters in te stellen. U kunt de banen en snelheidsvectoren visualiseren, animaties maken in gif-formaat. Als iemand dit zou doen, zou ik graag illustreren met zijn werk, met een vermelding. Ik zou dit zelf kunnen programmeren. Helaas zijn de computers veel veranderd sinds de tijd dat ik al vrij geavanceerde CAD-programma's maakte. Maar tegenwoordig, als u niet met C++ speelt, bent u gewoon een oude kreeft. Om eerlijk te zijn, heb ik altijd alles geschreven in gecompileerd BASIC. Ik ken zelfs Pascal niet! Ik zou er moeten aan beginnen. Maar op dit moment hebben we twee boten in de bouw, twee modellen, bestemd om afstandsbediend te worden (als iemand actief wil meedoen, geen probleem...). De ene is een Peruaanse boot van 5000 jaar geleden, een soort Kon-Tiki-raft met "garas" en roeispanen, en de andere een poging tot weergave van een Egyptische boot uit het Oude Rijk (2300 voor Christus). Dus door gebrek aan tijd om Pascal te leren, zal ik me moeten verlaten op mijn lezers om illustraties voor deze cursus te leveren, eventueel geanimeerd.

Systemen met meer dan twee deeltjes zijn instabiel. De bewijsvoering is dat de sterren die u in de hemel ziet, voor de helft eenzame sterren zijn, en voor de helft (ongeveer) dubbele systemen of systemen met meer dan twee sterren. Alleen de eerste twee zijn stabiel. Volgens wat we denken te weten, worden sterren niet alleen geboren, maar in cluster. Paradoxaal genoeg is dit een vrij recente gedachte. Ik herinner me de opmerking die mijn vriend Pierre Guérin, overleden 15 of 20 jaar geleden, mij maakte:

*- Als je zegt dat de Zon is geboren in een cluster, zul je de astrofysici tegen je in het harnas jagen. *

Sinds een artikel van Serge Jodra, verschenen enkele jaren geleden in Ciel et Espace, getiteld "Waar zijn de zussen van de Zon gebleven", is er een ommekeer gekomen. Natuurlijk zijn het alleen maar speculaties, en een van de doelstellingen die we zullen volgen, is om hier wat meer helderheid in te brengen... nevelachtige vragen. Kortom, we veronderstellen dat een ster zoals de Zon is geboren in een cluster van enkele honderden sterren. Er is geen reden a priori waarom deze sterren allemaal dezelfde massa zouden hebben. Het blijkt, en dat is de waarneming die ons dat vertelt, dat de Zon in zekere zin "de standaardster" van ons sterrenstelsel is, en waarschijnlijk van andere. Er zijn zwaardere en lichtere. Het zou dus interessant kunnen zijn (terwijl we toch naar 3D gaan) om het gedrag van 200 massapunten te bestuderen die op elkaar