Problemen met geodetische ** Problemen met geodetische**.
U kunt geodetische lijnen op een oppervlak tekenen met plakband. Vraag: onder welke voorwaarden kan een geodetische die op een kegel is getekend zichzelf snijden?
Neem een punt op een omwentelingskegel en laat een geodetische beginnen in een richting loodrecht op een van zijn generatrices: 
Overweeg de symmetrische generatrix ten opzichte van de omwentelingsas van deze kegel (elke kegel kan altijd worden vervormd tot een omwentelingskegel zonder dat dit de tekening van zijn geodetische lijnen verandert). In het geval van de hierboven getekende figuur zou dit het resultaat zijn als we onze kegel plat leggen:
We weten dat de hoek van de snede nu de hoeveelheid geconcentreerde hoekkromming in de top van de kegel vertegenwoordigt. De geodetische verandert dan in een rechte lijn in het vlak, omdat het oppervlak ontwikkelbaar is.
We zien dat een geodetische zich alleen kan snijden als de hoek van de snede groter is dan 180°, dus als de kegel voldoende puntig is.
Als we onze kegel herstellen, krijgen we:
Kan een geodetische van een kegel "de top bereiken"?
Alleen de generatrices van de kegel kunnen dit. Welke geodetische ook op een kegel wordt getekend, hoe dichtbij de top ook, deze zal zich altijd moeten verwijderen, zelfs als het lijkt alsof hij erop is getekend om zich er dichter bij te bewegen. Het voldoet om de top van de kegel te verbinden met het dichtstbijzijnde punt op de geodetische. De generatrix zal dan de geodetische loodrecht snijden. We kunnen een snede maken volgens de tegenoverliggende geodetische en het oppervlak plat leggen.
Zelfs als onze kegel zeer puntig is, zullen we alleen opeenvolgende snijdingen krijgen.
Kunnen geodetische zich oneindig vaak snijden? Als we de kegel ontrollen, lijkt het alsof de geodetische "terugkaatst" tegen de generatrix die de top verbindt met het snijpunt.
Hierboven is duidelijk dat de "terugkaatsing" de twee delen van de generatrix in zodanige richtingen stuurt dat ze elkaar nooit meer kunnen snijden. Voor meerdere snijdingen is een zeer puntige kegel nodig.
Maar bij elke "terugkaatsing" wordt de hoek groter en eindigt hij uiteindelijk gevangen in het gebied 2π – q. Het aantal snijdingen is dus eindig.
De generatrices van de kegel vormen een zeer bijzondere familie. Maar wat noemen we eigenlijk een kegel?
We kunnen beschouwen dat het object "kegel" overeenkomt met de figuur links hieronder. De geodetische-generatrices zijn dan halve rechten.
Maar we kunnen ook beschouwen dat een kegel overeenkomt met het object rechts. In dat geval, wat noemen we dan een geodetische? Als het de kortste weg is tussen twee punten, kunnen we situaties krijgen zoals deze:
We kunnen kiezen voor een kegelvormige structuur waarin elke generatrix zich voortzet langs een tweede generatrix op het tweede halve kegel, en slechts één, vormend een continu geheel. We kunnen keelpunten in een driedimensionale ruimte bedenken (zie artikel 11 van Geometrical Physics A).
Andere soorten singulariteiten.
De puntige punten zijn singulariteiten. Er zijn andere te noemen. Bijvoorbeeld "keelpunten", waar de puntige punten van het oppervlak, "puntjes van harde verandering".
Links: een bol met een keelpunt. Rechts: een punt van harde verandering.
We creëren een keelpunt met een stift. We kunnen deze verandering "creatie van keelpunt" P noemen en zijn omgekeerde P⁻¹.
Evenzo komt de creatie van een punt van harde verandering overeen met de verandering H. In feite volgt de creatie van de harde verandering op die van het keelpunt. Het is een keelpunt waarvan de top hoek nul is geworden. De verandering die leidt tot een lokale harde verandering van een oppervlak is dus P H
en zijn omgekeerde: H⁻¹P⁻¹
Er zijn andere manieren om een oppervlak te wijzigen, bijvoorbeeld door een hoek te creëren. De creatie van een hoek is de verandering D. Deze kan onafhankelijk worden uitgevoerd, mits het betrekking heeft op een gesloten pad (op een glad oppervlak). Het eenvoudigste voorbeeld is de bol. We kunnen een "plooi" langs haar evenaar creëren, bijvoorbeeld. Terloops bevat deze plooi "lijnkracht", een thema dat al behandeld is in de inleiding van Geometrical Physics A.
Als deze verandering op een glad oppervlak een segment betreft, zullen beide eindpunten elk een verandering P ondergaan.
Neem een bol, een "zachte" bol, vervormbaar. Stel ons binnen met een segment, een starre lat, en duw de bol erin. De twee uiteinden van de lat beginnen contact te maken met het oppervlak. Effect "stift": verschijning van kleine keelpunten. We blijven duwen. Het segment komt in contact met de bol, maar de hoek is nog niet gevormd. Als het in contact is met de bol, betekent dit alleen dat er op deze bol een rechte baan AB bestaat. Dit impliceert echter niet automatisch dat de bol een plooi heeft. We kunnen dit vergelijken met het opzetten van een tent, met twee palen. We plaatsen de palen
Effect van de twee veranderingen P. Creatie van twee keelpunten A en B.
en spannen een kabel die ze verbindt. Maar als het binnenoppervlak van de tent leeg is, zal de doek niet hangen langs de kabel, zonder een plooi te vormen.
Spanning van de kabel: het oppervlak krijgt een rechte baan AB. Maar als de wind waait en de tent licht onder druk staat, kan de omgeving van de baan de continuïteit van het raakvlak behouden, getuige de aanblik van de tent, onder een andere hoek.
Als de wind ophoudt te waaien, zullen de wanden van de tent zakken onder hun eigen gewicht. Zodra de beweging begint, wordt de continuïteit van het raakvlak verbroken. De hoek verschijnt. Verandering D.
Waar kan dit voor nuttig zijn?
Voordat we overgaan op praktische toepassingen moeten we een andere verandering definiëren. Stel een kegel voor: hij heeft een keelpunt dat de "hoekkromming" concentreert. Als het keelpunt niet behoort tot een "echte" kegel, waarvan de zijvlakken geen kromming hebben, is het oppervlak op kleine afstand van het keelpunt vergelijkbaar met een kegel. Dit betekent dat er in elk keelpunt van een oppervlak een "tangentiale kegel" bestaat.
Maar terug naar onze kegel. We kunnen zonder moeite twee keelpunten nabij elkaar plaatsen. We kunnen zelfs een dergelijk oppervlak fysiek bouwen, uit twee sneden in een vlak:
De lijnen die van A en B uitgaan zijn gewoon "naad" of "lijm". We kunnen ze verwijderen:
We kunnen de keelpunten samenvoegen, waardoor dit "bicône" overgaat in een kegel, waarvan de top een hoeveelheid geconcentreerde hoekkromming bevat gelijk aan de som van de krommingen in de twee keelpunten die we samengevoegd hebben. q₁ + q₂
We kunnen dus een nieuwe verandering overwegen: "samenvoeging van keelpunten":
ConfP
Met zijn omgekeerde: (ConfP)⁻¹
Neem nu een bol en duw er acht segmenten in. Dit creëert acht hoeken en zestien keelpunten. We kunnen de keelpunten paarlijk samenvoegen en krijgen... een kubus.
We weten dus hoe we een bol kunnen omzetten in een kubus, en omgekeerd. Op dezelfde manier helpt dit ons bij het bouwen van veelvlakken representaties van oppervlakken. Nu "blazen" we onze kubus op, zoals de tentdoek eerder:
De ribben zijn verdwenen. We krijgen een resultaat dat we ook zouden hebben gekregen door acht "palen" van binnen in een bol te duwen, waarbij acht keelpunten ontstaan. Als een binnenkader de afstand tussen deze acht punten zou behouden, maar de interne druk voldoende groot is, kunnen we ervoor zorgen dat alle kromming geconcentreerd is in deze acht keelpunten, dus p/2 per punt (als je acht keelpunten maakt met elk een kromming van p/2, kun je ze samenvoegen tot dit object). Hoewel het oppervlak op het eerste gezicht gebogen lijkt, is de krommingsdichtheid overal nul: alle kromming is geconcentreerd in de acht keelpunten. In totaal krijgen we de totale kromming van de bol terug, namelijk 4p. Als we nu de interne druk verhogen of verlagen, zal onze kubus vervormen, en zullen de wanden nu kromming bevatten, maar op zo'n manier dat de som altijd gelijk blijft aan de totale kromming van de bol. De afbeelding hieronder komt overeen met een "kubus in depressie".
De keelpunten bevatten dan een kromming groter dan p/2, maar het verschijnen van negatieve kromming elders compenseert dit overschot.
Het andere oppervlak kan worden verkregen door een bol te nemen en er acht punten op te plaatsen die de acht hoeken vormen van een "kubus" die binnenin vastgezet is aan een starre raamwerk. Als we onder druk zetten binnenin deze bol, verschijnen er keelpunten, terwijl het oppervlak zichzelf aanpast, zonder onderbreking van de krommingsdichtheid, zodat de som van de krommingen, geconcentreerd of verspreid over het oppervlak, altijd 4p blijft.
Eerder noemden we de verandering "harde verandering" H, die de top hoek van een keelpunt naar nul brengt:
Vraag: hoeveel kromming is geconcentreerd in een "punt van harde verandering"?
U weet dat hoe meer een kegel gesloten en puntig is, hoe groter de hoeveelheid kromming die hij bevat. Deze wordt berekend door de hoek van het weggenomen sector te meten bij het creëren van deze "kegel" (zie "het zwarte gat", op cd Lanturlu). Deze kan niet groter zijn dan 2π. Dus de hoeveelheid geconcentreerde hoekkromming in een "punt van harde verandering" is 2π.
Andere manier om het te bepalen: plaats een segment in een bol en vergroot het.
De hoeveelheid kromming in elk van de keelpunten nadert 2π, terwijl de kromming die overblijft in deze slecht uitziende bol nadert nul, zodat de totale kromming altijd 4π blijft.
Waar kunnen deze punten van harde verandering ons nog nuttig zijn, behalve om een bol om te zetten in een zeepkraaltje?
Creëer twee punten van harde verandering op een bol, beide gericht naar het centrum:
Net voordat de twee punten van harde verandering elkaar raken, bevat de rest van het boloppervlak een geïntegreerde kromming van nul, omdat elk van deze punten 2π bevat.
Als de contacten worden aangebracht, krijgen we een torus met "nul gat".
We moeten dan een nieuwe verandering overwegen: "uitbreiding van het gat" Eg met zijn omgekeerde: "verenging van het gat" Eg⁻¹. 
We kunnen nog steeds spelen met de transformatie P (creatie van keelpunten). Creëer twee keelpunten op een bol, vooraf omgevormd tot een Frankfurterworst, en breng deze twee punten in contact.
We krijgen dit vreemde object:
Volgens de "beperkende" definitie van geodetische in de buurt van een keelpunt heeft dit oppervlak een niet-singuliere verzameling geodetische lijnen.
We kunnen verder gaan met een nieuwe verandering die een buisvormige opening zou openen:
Andere manier om een bol om te zetten in een torus. In feite kunnen we alles verkennen in deze 2D-jungle. We kunnen veranderingen overwegen die gaten creëren of sluiten. Oppervlakken kunnen worden gevouwen, geperst, gescheurd, hersteld, genaaid, gekreukt, opgeblazen, ingekrompen, geschilderd. Maar alleen de wereld van de wiskunde laat ze zichzelf doortrekken (immersies). Toch wordt gezegd dat de doden, op de dag van de eindoordeel, zullen herrijzen in de vorm van "verheven lichamen", die dan de mogelijkheid zullen hebben om door alles heen te gaan, zelfs door andere "verheven lichamen", die op hun pad kruisen. Geen noodzaak meer om van trottoir te veranderen als je elkaar tegenkomt: het zou dan voldoende zijn om elkaar door te laten gaan. De studie van immersies voorziet misschien dus in de metafysica. In elk geval vertellen we u in een volgend artikel de saga van het omdraaien van de bol en de torus.
Te volgen