Omkeer van de bol in de wiskunde
...U bent waarschijnlijk geïntrigeerd door dit vreemde object. Het is een werk dat meer dan tien jaar oud is. In de afdeling wiskunde zal ik binnenkort een presentatie installeren over een belangrijk onderwerp uit de hedendaagse wiskunde: het omkeren van de bol. Het blijkt, en u zult dit in deze sectie ontdekken, dat men een bol om kunt keren, zonder onderbreking van het raakvlak, mits men haar toestaat zichzelf te doorkruisen. Ik heb me in de jaren zeventig bij deze avontuur aangesloten en was de eerste die een leesbare grafische beschrijving ervan gaf (Pour la Science, januari 1979). Maar onder deze voorwaarden, als een bol omgekeerd kan worden, kan dat ook een kubus. Het omkeren van de kubus is nog niet uitgevonden. Het is een onderzoeksgebied. Misschien vinden sommigen van u elementen van deze transformatie. Hoe dan ook, het object hierboven is het centrale model van de transformatie. Ik zal een snijding plaatsen die u toelaat het te bouwen en op uw bureau te zetten. In zo’n “centraal model” is de kubus half omgekeerd. Stel dat zijn oppervlak aan de buitenkant groen was en aan de binnenkant geel. Een opeenvolging van doorkruisingen van de lagen brengt de kubus in deze configuratie “met vier oren”, de veelvlakvormige versie van het “open centrale model” van Bernard Morin.
...Deze kubus toont dus nog een restant van wat zijn buitenkant was (de groene “oren”) en wat er na deze transformaties is opgetreden (de gele “oren”, die overeenkomen met de binnenkant van het object). De letter D geeft het dubbele punt van het model aan. De letter Q het viervoudige punt (waar vier lagen elkaar kruisen). Men weet dat er een oneindig aantal opeenvolgende vervormingen bestaat die onze groene kubus kunnen omzetten in dit object met kwartaire symmetrie. Deze vervormingen zijn slechts de veelvlakvormige versies van de oneindigheid van vervormingen die een bol (groen aan de buitenkant) kunnen omzetten in een model met vier oren (twee groene en twee gele). Wat nog te vinden is, is het vinden van de eenvoudigste tussenstappen, met zo min mogelijk vlakken, hoekpunten en ribben. Een leuke onderzoeksopdracht.
...Tijdens dit proces wordt duidelijk dat de kubus omgekeerd kan worden (zoals de bol, waarvan het slechts een veelvlakvorm is). Iemand die de hier genoemde reeks heeft, hoeft alleen maar het model 90° te draaien rond zijn symmetrieas en vervolgens de reeks omgekeerd te volgen om uiteindelijk een geel kubus te verkrijgen.
