...U bent ongetwijfeld
geïntrigeerd door dit bizarre object. Het is een werk van meer dan tien jaar oud.
In de wiskunderubriek zal ik binnenkort een presentatie plaatsen
van een bekend onderwerp uit de hedendaagse wiskunde: het Binnenstebuitenkeren
van de Bol. Het blijkt, en u zult het in dit
deel ontdekken, dat men een bol binnenstebuiten kan keren, met behoud van
de continuïteit van zijn raakvlak en op voorwaarde dat men hem
de mogelijkheid geeft zichzelf te doorkruisen. Ik heb aan dit
avontuur deelgenomen, in de jaren zeventig, en ik was de eerste
die er een leesbare grafische beschrijving van gaf (Pour la Science, januari
1979). Maar onder die voorwaarden, als een bol zich kan binnenstebuitenkeren, kan een
kubus dat evengoed. Het binnenstebuitenkeren van de kubus is nog niet uitgevonden.
Het is een onderzoeksonderwerp. Misschien zullen sommigen onder u
elementen van deze transformatie vinden. Hoe dan ook, het object
hierboven is het centrale model van de transformatie. Ik zal een bouwplaat plaatsen
waarmee u het kunt construeren en op uw bureau kunt zetten. In een
dergelijk "centraal model" is de kubus half binnenstebuiten gekeerd.
Stel dat zijn oppervlak groen was aan
de buitenkant en geel aan de binnenkant. Een opeenvolging van doorkruisingen
van de lagen brengt de kubus in deze configuratie "met vier
oren", de veelvlakkige versie van het "open centrale model"
van Bernard Morin.
...Deze kubus toont dus een restant
van wat zijn buitenkant was (de groene "oren")
en wat verscheen als gevolg van deze transformaties (de gele "oren",
die overeenkomen met de binnenkant van het object). De letter
D geeft het dubbelpunt van het model aan. De letter Q het viervoudige punt (waar
vier lagen elkaar kruisen). Men weet dat er een oneindig aantal opeenvolgende
vervormingen bestaat om onze groene kubus om te vormen tot dit object met
viertallige symmetrie. Deze vervormingen zijn slechts de veelvlakkige versies
van het oneindige aantal vervormingen waarmee men een bol (groen aan de buitenkant) kan
omvormen tot een model
met vier oren (twee groene en twee gele). Rest ons de eenvoudigste
tussenstappen te vinden,
te bedenken, met een minimum aan vlakken, hoekpunten en ribben. Dat is een aardig
stuk onderzoekswerk.
...Terloops toont dit aan dat de kubus
binnenstebuiten kan worden gekeerd (zoals de bol, waarvan hij
slechts de veelvlakkige versie is). Immers, wie over
de genoemde sequentie zou beschikken, zou het model slechts een rotatie van 90° om zijn symmetrieas
hoeven te laten ondergaan, en vervolgens
de sequentie in omgekeerde richting te hernemen om tot een
... gele kubus te komen.
