Terug naar deze klasse van homotopieën van inbeddingen van de torus in R3. Het is eenvoudig om de twee objecten die hierboven worden getoond met een "C-transformatie" te verbinden. Neem een torus en "doorboor" deze op een plek, waardoor een lijn van dubbele punten ontstaat, wat een cirkel is:
Ik heb "twee kleuren" gebruikt: grijs voor de buitenkant van de torus, wit voor de binnenkant. De doorbooring hierboven (die leidt tot een van de oneindig veel mogelijke inbeddingen van de "standaard torus") zorgt er dus voor dat een witte deel van de oppervlakte zichtbaar wordt.
Bekijk dit object vanaf een punt dat op de as van de torus ligt:
Bovenin zien we de binnenkant (witte) van de torus die door de doorbooring zichtbaar is. We kunnen nu een "C-transformatie" uitvoeren en twee cuspidele punten creëren.
Op het punt dat wordt aangegeven door de pijl "drukt" men een passage dicht. Deze operatie creëert twee cuspidele punten C1 en C2:
die men verder kan verplaatsen zoals hieronder:
Er blijft alleen nog over om een C-transformatie uit te voeren
-1
(confluente van twee cuspidele punten):
We krijgen het volgende object:
Deze inbedding van de torus is homotoop met de standaard torus.
Men ziet dat deze "C"-operatie en zijn inverse "C
-1
", die de wereld van inbeddingen uitbreiden naar die van oppervlakkenverschuivingen in R3, interessante dingen mogelijk maakt. Men kan het geheel van oppervlakkenverschuivingen van klassieke oppervlakken (sfeer, projectief vlak, torus en Klein-fles) construeren. Hoeveel klassen heeft deze verzameling?
We hebben gezien dat de sfeer en het projectieve vlak tot dezelfde klasse behoren (zoals ook de rechter- en de linker-Boy-oppervlakte). Hoeveel klassen van oppervlakkenverschuivingen heeft de torus? Ik denk, tenzij ik me vergis, dat dit probleem nog niet opgelost is. Kan men via "C"-operaties van een klasse van inbeddingen van de torus naar een andere gaan, of niet? Intuïtief zou ik zeggen dat dit niet mogelijk is, maar dit is slechts een
vermoeden.
Een constructie kan geen onmogelijkheid bewijzen, maar kan een mogelijkheid illustreren. Als iemand constructies vindt die het mogelijk maken van een klasse naar een andere te springen, is het theorema daarmee feitelijk bewezen, maar het feit dat men geen constructies vindt die dit mogelijk maken, is geen bewijs op zichzelf. Het gebrek aan bewijs is geen bewijs van het gebrek. Zeggen dat er vier klassen van oppervlakkenverschuivingen van de torus in R3 zijn, of zeggen dat er slechts één is, zijn
vermoedens
, gewoon geloof, op dit moment.
Het is zo dat Smale bewees dat het omkeren van de sfeer mogelijk was, voordat Phillips de eerste constructie gaf. Het zou net zo goed het omgekeerde kunnen zijn. Maar wie zou de idee hebben gehad om een dergelijke onderneming te starten, tegen de intuïtie van ons geometrisch inzicht in?
De C-transformatie kan een sfeer omvormen naar een cross cap, vervolgens naar een Boy-oppervlakte via het Steiner-oppervlakte. Zie het artikel. Kan het ook een torus omvormen naar een Klein-fles? Logisch gezien ja, maar ik heb geen directe antwoord op deze vraag.
Tijdens het verhaal, waarom praten we over het "projectieve vlak"? De objecten (eenzijdige) die hierboven worden getoond zijn eindig. Antwoord van Souriau:
- Op een vlak heeft men "de rechte van het oneindige". Men plakt simpelweg dit vlak aan volgens de rechte van het oneindige.
Die is, zoals men verwacht, een gesloten kromme.
In het Topologicon vindt men een klein animatie, een "feuilletage", die laat zien hoe een Möbiusband met drie halve omwentelingen kan worden omgevormd tot een Boy-oppervlakte. De laatste afbeelding toont dit oppervlakte, maar dan zonder een schijf. Het voldoet om deze erbij te voegen om het oppervlakte volledig te maken. Een Boy-oppervlakte is dus een Möbiusband plus een schijf. Oefening: gebruik de tools van het Topologicon en bereken dan zijn Euler-Poincaré karakteristiek (die 1 is).
Omgekeerd, zou men kunnen beginnen met de schijf en deze laten groeien, zichzelf doorsnijdend, tot het zich opnieuw aansluit op de Möbiusband met drie halve omwentelingen, wat een andere constructie is.
Ik heb de tekeningen teruggevonden in de 55-pagina's lange presentatie die ik had gegeven op de psychanalyseconferentie van Lacan in Aix-en-Provence (4 en 5 april 1987), gewijd aan "Perversion", en die in de verslagen van de organisatoren is opgenomen. Ik zal dit tekst gebruiken in een toekomstig document genaamd "JPP bij Lacan".
Eerste afbeelding: de schijf die zich in de war raakt.
Daarop volgt de aanvang van de creatie van het zelfdoorsnijdingsgeheel:
Volgende afbeelding: het verschijnen van het drievoudig punt:
Ik stopt met het maken van schaduwen, want het oppervlakte is op het punt om eenzijdig te worden.
Daarna is het oppervlakte klaar om zichzelf te herkoppelen langs zijn rand.
Daar is de Möbiusband met drie halve omwentelingen getoond, waarmee het oppervlakte voltooid wordt:
Volgende afbeelding: dezelfde band.
Vervolgens het Boy-oppervlakte, volledig gevormd. Men kan niet zeggen dat men het ziet van onderen, want een Boy-oppervlakte heeft geen kop of staart. Zeggen we dat het zichtbaar is, zien we zijn drievoudig punt.
Daarop volgt zijn zelfdoorsnijdingsgeheel:
U heeft dus gezien, met uw eigen ogen, hoe het vlak zich terugvouwt op zijn "rechte van het oneindige". Daarom heet het "projectief vlak", wat een beetje vreemd klinkt op het eerste gezicht. Misschien is het de eerste keer dat mensen het oneindige zo dichtbij zien.
Deze afbeeldingen zijn gemaakt een twintig jaar geleden en dit internet of dit cd biedt eindelijk de mogelijkheid om ze te tonen. De lezer zal zich misschien afvragen waarom ze niet verschenen in "Pour la Science" of "La Recherche". Het is niet aan gebrek aan het sturen van artikelen aan deze tijdschriften, maar de redacties vonden het onderwerp niet interessant.
Ik hoop dat u met deze "geometrische toolkist" er snel in slaagt om tal van nieuwe oppervlakken te bedenken. Hier is er een, bedacht door mevrouw Ivars. Neem een sfeer en duw er twee stukken van gelijke lengte in tegengestelde richtingen, tot ze elkaar raken, alsof ze gesoldeerd zijn op twee staven, zoals hier:
Wanneer de stukken elkaar raken, gebeurt er een "chirurgie". Er ontstaat een kruising van lagen langs het stuk, en twee kegelpunten aan elk eind. Hieronder is dit oppervlakte in doorsnede.
Hetzelfde, in perspectief:
Bij de gereedschapskist om oppervlakken te maken, een "sanitair onderdeel":
Wanneer men een vloeistof door een gat laat stromen, dat als ingang dient, stroomt deze er aan de buitenkant van het uitlaatbuis weer uit. Maar men kan de uitlaat gebruiken als ingang. Het effect is dan hetzelfde. Het object is een soort geometrische operator die het buitenste in het binnenste omvormt.
Door dit "koppelstuk" op zichzelf te sluiten, krijgt men een Klein-fles:
Maar hier is een ander montage:
Hetzelfde, in perspectief:
Het oppervlakte is nu tweezijdig. Welk is het?
Via een reguliere homotopie, een continuüm van inbeddingen, verandert het in dit:
U herkent een doos, met een handvat, maar die alleen van binnen geopend kan worden. Men kan het object verder transformeren. Het voldoet om een touw door het gat te halen en er aan te trekken:
Het resultaat is:
Het is een torus.
Uw beurt nu, om met de volgende montage te werken:
gemaakt met drie van deze "koppelstukken".
We zullen in een ander artikel de nuttigheid van deze "koppelstukken" bespreken in het geval van het omkeren van de sfeer.