Problemen met geodetische lijnen.
U kunt geodetische lijnen op een oppervlak tekenen met plakband. Vraag: onder welke omstandigheden kan een geodetische lijn op een kegel zichzelf snijden?
Neem een punt op een wentelkegel en laat een geodetische lijn vertrekken in een richting loodrecht op één van zijn generatrices:
Overweeg de symmetrische generatrice ten opzichte van de rotatieas van deze kegel (elke kegel kan altijd worden vervormd tot een wentelkegel zonder dat dit de tekening van zijn geodetische lijnen verandert). In het geval hierboven zou dit het resultaat zijn als we onze kegel plat leggen:
We weten dat de hoek van de snede dan de hoeveelheid gebogenheid vertegenwoordigt die geconcentreerd is in de top van de kegel. De geodetische lijn verandert dan in een rechte lijn in het vlak, omdat het oppervlak ontwikkelbaar is.
We zien dat een geodetische lijn zich pas kan snijden als de hoek van de snede groter is dan 180°, dus als de kegel voldoende puntig is.
Als we onze kegel herstellen, krijgen we:
Kan een geodetische lijn van een kegel "de top bereiken"?
Alleen de generatrices van de kegel kunnen dit. Welke geodetische lijn ook op een kegel wordt getekend, hoe dichtbij de top ook, deze zal zich altijd van de top verwijderen, zelfs als het lijkt alsof hij erop is getekend om er dichter bij te komen. Het voldoende om de top van de kegel te verbinden met het dichtstbijzijnde punt op deze geodetische lijn. De generatrice zal dan deze geodetische lijn loodrecht snijden. We kunnen een snede uitvoeren volgens de tegenoverliggende geodetische lijn en het oppervlak plat leggen.
Zelfs als onze kegel zeer puntig is, krijgen we alleen opeenvolgende sneden.
Kunnen geodetische lijnen oneindig vaak elkaar snijden? Als we de kegel ontrollen, lijkt het alsof de geodetische lijn "terugkaatst" tegen de generatrice die de top verbindt met het snijpunt.
Hierboven is duidelijk dat de "terugkaatsing" de twee delen van de generatrice in richtingen stuurt die ze niet meer kunnen snijden. Voor meerdere sneden is een zeer puntige kegel nodig.
Maar bij elke "terugkaatsing" wordt de hoek groter en eindigt hij gevangen in het gebied 2π – q. Het aantal sneden is dus eindig.
De generatrices van de kegel vormen een zeer bijzondere familie. Maar wat noemen we eigenlijk een kegel?
We kunnen beschouwen dat het object "kegel" overeenkomt met de figuur links hieronder. De geodetische-generatrices zijn dan halve rechten.
Maar we kunnen ook beschouwen dat een kegel overeenkomt met het object rechts. In dat geval, wat noemen we dan een geodetische? Als het de kortste weg is tussen twee punten, kunnen we situaties krijgen zoals hieronder:
We kunnen kiezen voor een kegelvormige structuur waarin elke generatrice zich voortzet langs een tweede generatrice op het tweede halve kegel, en slechts één, vormend een continu geheel. We kunnen kegelvormige punten in een driedimensionale ruimte bedenken (zie artikel 11 van Geometrical Physics A).
Andere soorten singulariteiten.
Cuspidele punten zijn singuliere punten. Er zijn nog andere te vinden. Bijvoorbeeld "kegelvormige punten", waar de terugkeerpunten van het oppervlak, "harenpunten".
Links: een bol met een kegelvormig punt. Rechts: een haarpunt.
We creëren een kegelvormig punt met een stift. We kunnen dus de verandering "creatie van kegelvormig punt" P noemen en zijn omgekeerde P⁻¹.
Evenzo zou de creatie van een haarpunt overeenkomen met de verandering H. In feite volgt de creatie van het haarpunt die van het kegelvormige punt. Het is een kegelvormig punt waarvan de top hoek nul is geworden. De verandering die leidt tot een lokale haarpunt op een oppervlak is dus PH en zijn omgekeerde: H⁻¹P⁻¹.
Er zijn andere manieren om een oppervlak te veranderen, bijvoorbeeld door een hoek te creëren. De creatie van een hoek is de verandering D. Deze kan onafhankelijk van andere worden uitgevoerd, mits het betrekking heeft op een gesloten pad (op een glad oppervlak). Het eenvoudigste voorbeeld is de bol. We kunnen een "ploo" langs haar evenaar creëren, bijvoorbeeld. Terloops bevat deze ploo "lijngebogenheid", een onderwerp dat al behandeld is in de inleiding van Geometrical Physics A.
Als op een glad oppervlak deze verandering een segment betreft, zullen de eindpunten elk een verandering P ondergaan.
Neem een bol, een "zachte" bol, vervormbaar. Stel ons binnen met een segment, een starre lat, en duw de bol in. De twee uiteinden van de lat beginnen contact te maken met het oppervlak. Effect "stift": verschijning van kegelvormige punten. We blijven duwen. Het segment komt in contact met de bol, maar de hoek is nog niet gevormd. Als het in contact is met de bol, betekent dat alleen dat er op deze bol een rechte lijn AB bestaat. Maar dat impliceert niet automatisch dat de bol een ploo heeft. We kunnen dit vergelijken met het opzetten van een tent met twee palen. We plaatsen de palen
Effect van de twee veranderingen P. Creatie van twee kegelvormige punten A en B.
dan spannen we een kabel die ze verbindt. Maar als de binnenkant van de tent leeg is, zal het doek niet hangen langs de kabel en een ploo vormen.
Spanning van de kabel: het oppervlak krijgt een rechte lijn AB. Maar als de wind waait en de tent licht onder druk staat, kan de omgeving van de lijn de continuïteit van het raakvlak behouden, getuige de aanblik van de tent, onder een andere hoek.
Als de wind ophoudt te waaien, zullen de wanden van de tent zakken onder hun eigen gewicht. Zodra de beweging begint, wordt de continuïteit van het raakvlak verbroken. De hoek verschijnt. Verandering D.
Waar kan dit voor dienen?
Voordat we overgaan op praktische toepassingen moeten we een andere verandering definiëren. Stel een kegel voor: hij heeft een kegelvormig punt dat de "hoekige gebogenheid" concentreert. Als het kegelvormige punt niet behoort tot een "echte" kegel, waarvan de zijvlakken geen gebogenheid hebben, is het oppervlak in de buurt van het kegelvormige punt vergelijkbaar met een kegel. Dit betekent dat er op een kegelvormig punt van een oppervlak een "tangentiale kegel" bestaat.
Maar laten we terugkeren naar onze kegel. We kunnen zonder moeite twee kegelvormige punten nabij elkaar plaatsen. We kunnen zelfs een dergelijk oppervlak fysiek bouwen, uit twee sneden in een vlak:
De lijnen die van A en B vertrekken zijn gewoon "naad" of "lijm". We kunnen ze verwijderen:
We kunnen de kegelvormige punten samenvoegen, waardoor dit "dubbele kegel" overgaat in een kegel, waarvan de top een hoeveelheid hoekige gebogenheid bevat gelijk aan de som van de gebogenheden in de twee kegelvormige punten die we samengevoegd hebben.
q₁ + q₂
We kunnen dus een nieuwe verandering "samenvloeiing van kegelvormige punten" overwegen:
Conf
Met zijn omgekeerde:
(ConfP)⁻¹
Neem nu een bol en duw er acht segmenten in. Dit creëert acht hoeken en zestien kegelvormige punten. We kunnen de kegelvormige punten twee aan twee samenvoegen en krijgen... een kubus.
We weten dus nu hoe een bol kan worden omgezet in een kubus, en omgekeerd. Evenzo helpt dit ons bij het bouwen van veelvlakkenrepresentaties van oppervlakken. Nu "blazen" we onze kubus op, zoals de tentdoek eerder:
De ribben zijn verdwenen. We krijgen een resultaat dat we ook zouden hebben gekregen door acht "palen" van binnen in een bol te duwen, waardoor acht kegelvormige punten ontstaan. Als een binnenkader de afstand tussen deze acht punten vasthoudt, maar de interne druk voldoende is, kunnen we ervoor zorgen dat alle gebogenheid geconcentreerd is in deze acht kegelvormige punten, dus p/2 per punt (als u acht kegels maakt met elk een gebogenheid van p/2, kunt u ze samenvoegen tot dit object). Hoewel het oppervlak er bij contact bolvormig uit ziet, is de dichtheid van de gebogenheid overal nul: alle gebogenheid is geconcentreerd in de acht kegelvormige punten. In totaal krijgen we de totale gebogenheid van de bol, namelijk 4p. Als we nu de interne druk verhogen of verlagen, zal onze kubus vervormen, en zullen zijn wanden nu gebogenheid bevatten, maar op zo'n manier dat de som altijd gelijk blijft aan de totale gebogenheid van de bol. De afbeelding hieronder geeft een "kubus in depressie" weer.
De kegelvormige punten bevatten dan een gebogenheid groter dan p/2, maar het verschijnen van negatieve gebogenheid elders compenseert dit overschot.
Het andere oppervlak kan worden verkregen door een bol te nemen, acht punten op de bol te plaatsen die de acht hoekpunten vormen van een kubus "binnenin vastgemaakt aan een starre raamwerk". Als we onder druk zetten in de bol, verschijnen er kegelvormige punten, terwijl het oppervlak zichzelf aanpast, met behoud van een continu veld van gebogenheidsdichtheid, zodat de som van de gebogenheden, geconcentreerd of verspreid over het oppervlak, altijd 4p blijft.
Eerder noemden we de verandering "haarpunt" H, die de top hoek van een kegelvormig punt naar nul brengt:
Vraag: hoeveel gebogenheid zit er geconcentreerd in een "haarpunt"?
U weet dat hoe dichter een kegel is, hoe puntiger, hoe groter de hoeveelheid gebogenheid die hij bevat. Die wordt berekend door de hoek van het weggenomen sector te meten bij het maken van deze "kegel" (zie "Het zwarte gat", in CD Lanturlu). Deze kan niet groter zijn dan 2p. De hoeveelheid hoekige gebogenheid die geconcentreerd is in een "haarpunt" is dus 2p.
Andere manier om het te bepalen: plaats een segment in een bol en rek het uit.
De hoeveelheid gebogenheid in elk van de kegelvormige punten nadert 2p, terwijl de resterende gebogenheid in deze beroerde bol naar nul nadert, zodat de totale gebogenheid altijd gelijk blijft aan 4p.
Waar kunnen deze haarpunten ons nog nuttig zijn, behalve om een bol om te zetten in een zeepkraag?
Creëer twee haarpunten op een bol, gericht naar het midden:
Net voor het contact van twee haarpunten bevat de rest van het oppervlak van de bol een geïntegreerde gebogenheid van nul, omdat elk haarpunt 2p bevat.
Als het contact tot stand komt, krijgen we een torus met "nul keel".
We moeten dan een nieuwe verandering overwegen: "uitbreiding van de keel" Eg met zijn omgekeerde: "verkorting van de keel" Eg⁻¹.
We kunnen nog steeds spelen met de transformatie P (creatie van kegelvormige punten). Creëer twee kegelvormige punten op een bol, eerst omgezet in een Frankfurterworst, en breng deze twee punten in contact.
We krijgen dit vreemde object:
Volgens de "beperkende" definitie van geodetische lijnen in de buurt van een kegelvormig punt heeft dit oppervlak een niet-singuliere verzameling geodetische lijnen.
We kunnen verder gaan met een nieuwe verandering die een buisvormige opening zou openen:
Andere manier om een bol om te zetten in een torus. In feite kunnen we alles verkennen in deze 2D-jungle. We kunnen veranderingen overwegen die gaten creëren of sluiten. Oppervlakken kunnen worden gevouwen, geprikt, gescheurd, hersteld, genaaid, gekreukt, opgeblazen, ingekrompen, geschilderd. Maar alleen de wereld van de wiskunde laat ze zichzelf doorlopen (immersionen). Toch wordt gezegd dat de doden op de Dag des Oordeels zullen herrijzen in de vorm van "verheven lichamen", die dan de mogelijkheid zullen hebben om door alles heen te gaan, zelfs door andere "verheven lichamen" die ze onderweg kruisen. Geen nood meer om op een ander trottoir te stappen als je elkaar tegenkomt: het zou voldoende zijn om elkaar door te laten gaan. De studie van immersionen voorziet misschien dus in de metafysica. In elk geval vertellen we u in een volgend artikel over de saga van het omdraaien van de bol en de torus.
Tot ziens
