nieuwe ciment kosmologie univers tweelingen
Voorwoord bij het artikel dat in 1994 verscheen in de revue Nuovo Cimento
...Het uitgangspunt van dit werk ligt in 1977. Twee notities in de Comptes rendus de l'Académie des Sciences van Parijs:
J.P. Petit: "Universen met tegenovergestelde tijdpijlen", CRAS van 8 mei 1977, t.285, blz. 1217-1221
J.P. Petit: "Universen in interactie met hun spiegelbeeld in de tijdspiegel", CRAS van 6 juni 1977, t. 284, serie A, blz. 1413-1416
...In het volgende artikel probeerden we een punt-voor-puntrelatie (involutieve afbeelding) tussen de punten in de nabijheid van de Aarde (op kosmologische schaal) en de overeenkomstige punten van het tweede universum te onderzoeken (dat we hier het tweelinguniversum, schaduwuniversum of spookuniversum noemen – termen die in onze gedachte gelijkwaardig zijn), door gebruik te maken van een antipodale relatie, wat een uitgangshypothese over de topologie van het geometrische object vereiste. Later bleek dat dit niet nodig was, omdat men de lokale structuur (F,F*) kon definiëren als een tweevoudige overdekkingsruimte van een "skeletvariëteit". De structuur is dan die van een tweevoudige overdekking van een projectieve ruimte P3, equivalent aan de driedimensionale versie van de bekendere tweedimensionale projectieve ruimte P2. De meest bekende representatie is de oppervlak gevonden in 1902 door de Oostenrijker Werner Boy, zie figuur 184 (in principe een animatie, wanneer de site volledig is).
...Boy was een leerling van de grote wiskundige Hilberth, die zeer tevreden was met de uitvinding van zijn leerling. Terloops: na zijn uitvinding verliet Boy de universiteit en werd hij nooit meer gezien. Alle onderzoeken van historici om zijn spoor terug te vinden waren vruchteloos. Niemand weet of hij stierf aan een slechte griep of als loodgieter zijn laatste dagen sleet.
...Wiskundigen weten dat men alle punten van een bol S2 kan samenvoegen tot een projectieve ruimte P2, zoals aangegeven in figuur 10 van het volgende artikel. Het noordpoolpunt komt zo samen met het zuidpoolpunt en de evenaar wikkeelt zichzelf op langs de pseudo-evenaar van het Boy-oppervlak, ook aangegeven. Deze tweevoudige overdekking is aangegeven in figuur 11 van het artikel. Men zal merken – minstens in twee dimensies – dat deze operatie objecten met tegenovergestelde handigheid (spiegelbeelden) samenvoegt. Figuren 12 en 13 zijn didactische afbeeldingen die tonen hoe de klonten zouden kunnen plaatsen in de leemtes van het antipodale gebied.
...Dit systeem van tweevoudige overdekking kan worden uitgebreid naar drie of zelfs vier dimensies, met bollen S3 en S4, die respectievelijk projectieve ruimten P3 en P4 overdekken.
Voordat we verder gaan, kunnen we de lezer vertrouwd maken met de geometrie van dit vreemde Boy-oppervlak. De lezer kan ook verschillende varianten van het object vinden in het Topologicon (Ed. Belin, 1984).
...Wat de lezer misschien verrast is het feit dat dit oppervlak zichzelf snijdt volgens een verzameling zelfintersecties die een drievoudige lus vormt, vergelijkbaar met een schroef van een schip:
...Op deze tekening links is een opening gemaakt om het drievoudige punt te tonen, waar drie oppervlakken elkaar kruisen. Dit oppervlak lijkt bijzonder. In feite is dit object een uitstekend voorbeeld dat helpt het concept van representatieruimte (3D) te illustreren, zoals eerder aangegeven.
...Het drievoudige punt T en de zelfintersectielijn zijn uitsluitend het gevolg van de manier waarop de projectieve ruimte P2 wordt weergegeven in R3. Een bol of een torus kunnen inbedden in R3, dat wil zeggen dat ze topologisch equivalent kunnen worden voorgesteld zonder dat het oppervlak zichzelf snijdt. Maar het is onmogelijk om de projectieve ruimte P2 in R3 in te bedden. Men kan het alleen inmengen. De hierboven getoonde tekening (het Boy-oppervlak) is dus een inmenging van de projectieve ruimte in R3. Een inmenging van een tweedimensionaal object is een manier van weergave in R3 waarbij een lijn van dubbele punten (de zelfintersectielijn) voorkomt, langs welke twee raakvlakken zijn, en een aantal drievoudige punten waar drie oppervlakken elkaar snijden. Het Boy-oppervlak is slechts één van de oneindig veel manieren om de projectieve ruimte P2 in R3 in te mogen. Andere vormen vindt men in een artikel dat zal worden opgenomen op de site, getiteld "De verschillende gezichten van het projectieve vlak".
...Het is vrij eenvoudig om afbeeldingen van het Boy-oppervlak te verkrijgen via een parametrische weergave die wij hebben uitgevonden en gepubliceerd.
---> De lezer vindt in het sub-site MATHÉMATIQUES onder andere de reproductie van de notitie in de Comptes rendus, verschenen in 1981 bij de Académie des Sciences van Parijs, samen met J. Souriau (nee, dit is niet de beroemde wiskundige, maar een van zijn zonen, Jérôme, die later informaticus werd), met de volgende referentie:
"Analytische representatie van het Boy-oppervlak", Notitie in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences van Parijs, t. 293 (5 oktober 1981), serie 1, blz. 269-272
Daarin wordt aangetoond dat het oppervlak elliptische meridianen bezit. Deze eigenschap maakt het eenvoudig te tekenen. Hieronder staat het programma dat op de voorkant van mijn stripboek Topologicon staat. * *
BASIC-programma
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM HIER ZIJN DE DRIE COÖRDINATEN
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y =Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM INSTRUCTIE OM DE PUNTEN TE WEERGEVEN
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
...Ter informatie: het feit dat we de mogelijkheid ontdekten om dit oppervlak te representeren met behulp van elliptische meridianen, stelde de wiskundige Apéry later in staat de eerste impliciete representatie, van graad zes, te verkrijgen:
f (x , y ,z) = 0
Die we hier niet zullen reproduceren (ze is trouwens vrij ingewikkeld en wij zijn ervan overtuigd dat er eenvoudigere bestaan, maar dit zal het onderwerp zijn van een ander document dat op de site MATHÉMATIQUES zal worden opgenomen).
...De Klein-fles is bekender voor de lezer. Het is eveneens onmogelijk om deze in R3 in te bedden. Ze verschijnt dan in haar meest klassieke vorm als een inmenging met een verzameling van snijpunten die een eenvoudige gesloten kromme vormt.
...De tweevoudige overdekking van het Klein-oppervlak is een torus T2, net zoals de tweevoudige overdekking van het Boy-oppervlak (projectieve ruimte P2) een bol S2 is. De lezer die geïnteresseerd is in het Boy-oppervlak kan er een 3D-model vinden in één van de zalen van het Palais de la Découverte in Parijs, een model dat wij lieten maken door de plasticien Max Sauze, op basis van een ruwer model dat wij zelf hadden gemaakt.
...Bij deze tweevoudige overdekkingen wikkelen de meridianen en parallellen van de objecten zichzelf op. Men kan bijvoorbeeld tonen wat er gebeurt met de "parallellen" van de torus (die ook gerelateerd zijn aan de weergave):
...Bij deze inbedding van de torus zijn de parallelle krommen natuurlijk geen geodeten van het oppervlak (behalve de "keelcirkel"). Een gelijkaardige situatie geldt voor de meridianen van de torus, die wel geodeten zijn van haar standaardinbedding:
Hieronder beide overlappend:
...We zullen deze onderwerpen terugnemen in een tekst over het omkeren van bol en torus, die ook zal worden opgenomen op de site.
...Deze afwijking is slechts bedoeld om ons te helpen begrijpen dat de zelfintersectielijnen in de illustraties in het artikel absoluut geen didactische weergave zijn van een welke 3D-wereld dan ook, mocht het universum zo'n topologie hebben.
...Dit artikel was een eerste benadering van de beperking van een object door zijn geconjugeerde structuur, in de vorm van een analytische oplossing, ontwikkeld in sectie 4. Daarin vindt men ook de eerste schetsen van numerieke simulaties (2D) die Pierre Midy uitvoerde op een Cray-1.
