tweelinguniversum astrofysica en kosmologie Vermist materie materie astrofysica.6. Spiraalstructuur.(p3)
- Hoe de beginvoorwaarden te bepalen voor een numerieke simulatie in 2D.
Bouw van een 2D-oplossing van het type Eddington voor het paar vergelijkingen van Poisson + Vlasov.
Niet-uniforme (elliptische) oplossingen van de Vlasov-vergelijking zijn al lang intensief bestudeerd in 3D. In het vervolg beschouwen we bewegingen en posities in 2D, zodat we de zelfconsistentie-elliptische oplossing van de Vlasov-vergelijking in 2D moeten opbouwen.
Laten we de Vlasov-vergelijking schrijven:
(1)
waar:
(2)
f (x , y , u , v , t ) is de snelheidsverdelingsfunctie. De vergelijking (1) is geschreven in dyadische tensornotatie, uitgedrukt in termen van de bijzondere (residuele of thermische) snelheid C = ( u , v ).
<V> is de macroscopische snelheid. m is de massa van een deeltje.
**** is de positievector ( x , y ).
..
De vetgedrukte letters vertegenwoordigen vectoren. Het laatste term van vergelijking (2) stelt het scalair product van twee dyadische tensors voor (zie referentie [20]). We introduceren nu een elliptische 2D-oplossing van het type Eddington:
(3)
waar C de residuele, de thermische snelheid is. In stationaire toestand wordt de Vlasov-vergelijking:
(4)
Door combinatie met de Vlasov-oplossing krijgen we:
(5)
Dit is een polynoom van derde orde in de componenten u en v van de thermische snelheid C. Een oplossing ontstaat:
(6)
Dan:
(7)
Uit de termen van derde orde volgt:
(8)
Uit de termen van tweede orde (9)
Door combinatie krijgen we het volgende stelsel:
(10)
Laat:
(11)
Dan:
(12)
De verdelingsfunctie wordt:
(13)
waar C de radiale component is van de thermische snelheid C en Cp zijn azimutale component. We krijgen dan:
(14)
In de klassieke (driedimensionale) Eddington-oplossing hadden we een ellipsoïde van snelheden waarvan de hoofdas naar het centrum van het systeem wees. Zie figuur 6.
Fig. 6 :** Ellipsoïde van snelheden die overeenkomt met een oplossing van het type Eddington.**
In de huidige 2D-elliptische oplossing van het type Eddington krijgen we een snelheidsellips, waarvan de hoofdas constant is en naar het centrum van het systeem wijst. In het midden wordt de snelheidsellips een cirkel (2D Maxwell-Boltzmann-verdeling van de snelheid). Zoals verder zal blijken is haar hoofdas < Cv > (gemiddelde radiale thermische snelheid) constant ten opzichte van de radiale afstand v. Haar dwarsas
(gemiddelde azimutale thermische snelheid) nadert nul in het oneindige. Zie figuur 7.
Fig. 7 :** Evolutie van de snelheidsellips, in de 2D-oplossing van het type Eddington,** in functie van de afstand tot het centrum van het systeem.****
