| 1 |
Proloog.
...Fysica
is als een cake :
(1)
- Eerste verdieping : observaties,
experimenten. - Tweede verdieping : differentiaalvergelijkingen.
- Derde verdieping : meetkunde
- Vierde verdieping : groepenleer.
Groepen regeren de meetkunde,
die mooie differentiaalvergelijkingen voortbrengt.
Met differentiaalvergelijkingen
bouwen we dingen, die vervolgens worden gebruikt om te verklaren of te voorspellen wat we fysische
feiten noemen.
...Historisch begonnen mensen feiten te bestuderen en te codificeren,
observaties, metingen uit te voeren. Dan verzonnen ze behoudswetten,
en "natuurkundige wetten". Aan het begin van de eeuw begonnen ze te denken
dat natuurkundige wetten iets met meetkunde te maken konden hebben.
In dezelfde periode vroeg Felix
Klein :
Wat
is een meetkunde ?
Let op: hij zei "een meetkunde" en niet "meetkunde" (Erlangen-programma)
...Klein,
Lie, Cartan en anderen toonden aan dat er iets onder het meetkundige aspect lag.
Meetkunde was niet de hoogste verdieping, het nec plus ultra van kennis in de fysica.
Uit een groepsstructuur kan men een meetkunde bouwen.
In het volgende zullen we
proberen het verband te tonen tussen groepen, meetkunde en fysica.
Trouwens, boven groepen, wat ?
...Ik
zou geneigd zijn te zeggen : logica. Maar logica is een flat waarvan de laatste bewoner Kurt
Gödel was, een gevaarlijke pyromaan. Met zijn welbekende stelling stak hij
de meubels in brand, die volledig werden vernield. Sinds deze tragedie
is de kamer onbewoond.
...Daarom
heb ik daar een vraagteken geplaatst.
Groepen.
...Wat is
een groep ? In het volgende beperken we het onderzoek tot dynamische groepen van
de fysica : een verzameling vierkante matrices (n,n) die aan gedefinieerde axioma's voldoen. Deze matrices
g, elementen
van een groep G, werken elk op elkaar via klassieke (rij-kolom) matriciële
vermenigvuldiging . Onder deze vierkante matrices vinden we eenheidsmatrices.
(1-bis)
...Een
groep voldoet aan de axioma's gedefinieerd door de Noorse wiskundige Sophus Lie.
Deze axioma's gelden voor objecten die veel algemener zijn dan verzamelingen matrices.
Maar we zullen onze blik beperken tot deze bijzondere wereld en de matrix-vermenigvuldiging
gebruiken :
x
1 - Eerste axioma van
de groepenleer :
Het product van twee elementen
g1 en g2 van
een groep G :
(2)
g3
= g1 x g2
voldoet aan :
(3)
Laten we een voorbeeld geven
van een groep van matrices, die van een enkele parameter a afhangt. Het element
is :
(4)
Het product van twee elementen
geeft :
(5)
of :
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
We kunnen het matrix-product
schrijven :
(7)
dat gelijkaardig is aan g1
en g2 , i.e :
(8)
Tegenvoorbeeld : Beschouw de volgende verzameling matrices die van
een enkele parameter a afhangen
(9)
Het product van twee elementen
geeft :
(10)
dat fundamenteel verschilt van (5).
2 - Tweede axioma
van de groepenleer :
In de verzameling elementen
moeten we een bijzonder element vinden, het neutrale element e genaamd, dat, gecombineerd
met elk ander element, voldoet aan :
(11)
g x e = ex g = g
In groepen waarvan de elementen
vierkante matrices zijn, is dit neutrale element e altijd de eenheidsmatrix
1 .
(12)
g x 1
= 1 x g = g
Let op: we gebruiken lichte
letters om scalairen te beschrijven en vette letters voor andere objecten : vierkante of lijn-
of kolommatrices.
Laten we terugkeren naar het
eerste voorbeeld van een groep :
(13)
Merk op dat :
(14)
