a4101
| 1 |
|---|
Proloog.
...Fysica is als een taart:
(1)
- Eerste verdieping: waarnemingen, experimenten.
- Tweede verdieping: differentiaalvergelijkingen.
- Derde verdieping: meetkunde - Vierde verdieping: groepentheorie.
Groepen bepalen de meetkunde, die mooie differentiaalvergelijkingen voortbrengt.
Met differentiaalvergelijkingen bouwen we dingen, die vervolgens gebruikt worden om te verklaren of te voorspellen wat we fysieke feiten noemen.
...Historisch gezien begonnen mensen met het bestuderen en coderen van feiten, waarnemingen, door metingen uit te voeren. Vervolgens verzonnen ze behoudswetten, en "fysische wetten". In het begin van de eeuw begonnen ze te denken dat fysische wetten iets te maken konden hebben met meetkunde.
Op dezelfde tijd vroeg Felix Klein: Wat is een meetkunde?
Let op dat hij zei "een meetkunde" en niet "meetkunde" (Erlangens programma).
...Klein, Lie, Cartan en anderen toonden aan dat er iets verborgen zat achter het meetkundige uiterlijk. De meetkunde was niet de laatste verdieping, het ultimaat van kennis in de fysica. Vanuit een groepsstructuur kan je een meetkunde bouwen.
In het vervolg zullen we proberen het verband tussen groepen, meetkunde en fysica te laten zien.
Tijdens de reis, over groepen, wat dan?
...Ik zou zeggen: logica. Maar logica is een kamer waar de laatste bewoner Kurt Gödel was, een gevaarlijke brandstichter. Met zijn bekende stelling maakte hij de meubelen in brand, die volledig verbrandden. Sinds die tragedie is de kamer leeg.
...Daarom heb ik daar een vraagteken gezet.
Groepen.
...Wat is een groep? In het vervolg beperken we ons tot dynamische groepen in de fysica: een verzameling vierkante matrices (n,n) die aan gedefinieerde axioma's voldoen. Deze matrices g, elementen van een groep G, werken op elkaar via klassieke matrixvermenigvuldiging (rij-kolom). Onder deze vierkante matrices vinden we eenheidsmatrices.
(1-bis)
...Een groep voldoet aan de axioma's die de Noorse wiskundige Sophus Lie heeft gedefinieerd. Deze axioma's gelden voor objecten die veel algemener zijn dan verzamelingen van matrices. Maar we beperken ons tot dit specifieke wereldje en gebruiken matrixvermenigvuldiging:
x
1 - Eerste axioma van de groepentheorie :
Het product van twee elementen g1 en g2 van een groep G :
(2)
g3 = g1 x g2
voldoet aan:
(3)
Laten we een voorbeeld geven van een matrixgroep, die afhangt van een enkele parameter a. Het element is:
(4)
Het product van twee elementen geeft:
(5)
of:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We kunnen het matrixproduct schrijven:
(7)
wat gelijk is aan g1 en g2, dat wil zeggen:
(8)
Tegenvoorbeeld: Beschouw de volgende verzameling matrices die afhangen van een enkele parameter a
(9)
Het product van twee elementen geeft:
(10)
wat fundamenteel verschilt van (5).
2 - Tweede axioma van de groepentheorie :
In de verzameling elementen moeten we een speciaal element vinden, genaamd neutraal element e, dat, gecombineerd met elk ander element, voldoet aan:
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groepen waarvan de elementen vierkante matrices zijn, is dit neutrale element e altijd de eenheidsmatrix 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Let op dat we rechte letters gebruiken voor scalairen en vetgedrukte letters voor andere objecten: vierkante matrices, rijen of kolommen.
Herinneren we ons het eerste voorbeeld van een groep:
(13)
Let op dat:
(14)
Index Dynamische Groepentheorie
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4101
| 1 |
|---|
Proloog.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
(2)
g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
(7)
which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
(9)
The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
(13)
Remark that :
(14)