a4102
| 2 |
|---|
3 - Derde axioma van de groepentheorie :
Elk element van de groep moet zijn inverse hebben, genoteerd als g⁻¹, gedefinieerd door:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
In ons voorbeeld:
(16)
dat wil zeggen: b = -a of:
(17) g⁻¹ (a) = g (-a)
Hier is het berekenen van de inverse matrix triviaal.
Wat is de voorwaarde voor een gegeven vierkante matrix om zijn inverse te hebben?
...Aan elke vierkante matrix kunnen we een scalair associëren, genaamd determinant. Voor de definitie, zie een boek over lineaire berekening. Deze determinant wordt genoteerd als: det ( g )
Daarnaast hebben we een algemeen theorema:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
De determinant van een diagonaalmatrix is:
(18)
Daarom: det ( 1 ) = 1
want 1 is een diagonaalmatrix.
Volgens de definitie van de inverse van een matrix:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Dan:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Als det (g) = 0, kan voorwaarde (19) niet worden vervuld. Verzamelingen van matrices waarvan de specifieke elementen een nul-determinant hebben, voldoen niet aan het derde axioma en kunnen geen groep vormen.
Daarnaast:
(20)
4 - Vierde axioma van de groepentheorie:
De vermenigvuldiging moet associatief zijn, dat wil zeggen:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Matrixvermenigvuldiging is fundamenteel associatief.
Dimensie van een groep:
...Zoals we zullen zien, kan een groep werken op een ruimte waarvan de punten worden beschreven door kolomvectoren. Bijvoorbeeld, de punten van de ruimte-tijd (aangeduid als "gebeurtenissen"):
(22)
...Dit is een vierdimensionale ruimte. Verschillende groepen kunnen hierop werken. Maar de dimensie van een groep heeft niets te maken met de dimensie van de ruimte waarop het werkt.
De dimensie van een groep (van matrices) is het aantal parameters dat deze vierkante matrices definieert.
We hebben een voorbeeld gegeven van matrices gedefinieerd door één parameter
a
Dus is de dimensie van deze groep één.
Let op dat:
(22-bis)
Opmerking:
Niet alle matrixgroepen zijn commutatief, hoewel de groep die we bestudeerden deze eigenschap heeft:
(23)
Als zo'n groep werkt op een kolomvector die overeenkomt met een tweedimensionale ruimte:
(23 bis)
dan komt dit overeen met een rotatie rond een vast punt in een vlak:
(23 ter)
Deze bewerking is duidelijk commutatief.
U zult geneigd zijn te zeggen: "zoals alle rotatiegroepen".
...U zit fout. Beschouw de rotaties rond assen die door een gegeven punt O lopen. Combineer twee opeenvolgende rotaties rond verschillende assen. Dit is niet commutatief. Oefening: toon aan dat, gebruikmakend van een orthogonaal assenstelsel (OX, OY, OZ), gecombineerde rotaties rond deze assen geen commutatieve bewerking vormen. Neem een willekeurig object.
- Maak een rotatie van +90° rond OX, daarna een rotatie van +90° rond OZ
- Ga terug naar de oorspronkelijke situatie en:
- Maak een rotatie van +90° rond OZ, daarna een rotatie van +90° rond OX
Vergelijk de resultaten.
Actie van een groep.
...Een groep G bestaat uit vierkante matrices g. Ze kunnen worden vermenigvuldigd. We zullen zeggen dat een groep op zichzelf kan werken.
De groep kan ook werken op een ruimte die bestaat uit punten die worden beschreven door kolomvectoren. Voorbeeld:
(24)
Als we noteren:
(25)
dan wordt de actie van de groep op deze ruimte:
(26) g × r
...In dit specifieke geval reduceert de actie op de ruimte tot eenvoudige matrixvermenigvuldiging. Maar het concept van actie is veel algemener.