Dynamisch groepsonderzoek en momentruimte

a4114

Het project.

… Onze uitgangspunt zal een dynamisch groep G zijn, dat wil zeggen een familie van vierkante matrices g.

… Dynamisch: omdat de tijd erin betrokken is.

… Deze groep heeft een bepaalde dimensie n. Het kan werken op een ruimte X, die haar eigen dimensie heeft (die niets te maken heeft met de dimensie van de groep, deze laatste is het aantal onafhankelijke parameters die elke matrix g van de verzameling definiëren, die de groep G vormt).

… Nu hebben we een actie nodig, om een ruimte te definiëren waarop de groep werkt, zijn momentenruimte (of impulsruimte). Deze ruimte is niet de ruimte-tijd waarin de deeltjes verondersteld worden te bewegen. Het bouwen van zo'n ruimte brengt ons in een vreemd land, dat eruitziet als een schizofrene grond. Maar als je deze weg volgt, zul je dichter bij de fysische realiteit zijn dan ooit tevoren.

… Zodra we een ruimte hebben waarop we kunnen spelen, en een actie waarop we kunnen werken, zullen we de bewegingsmomenten in soorten kunnen classificeren en deze soorten kunnen identificeren met elementaire deeltjes.

… Boven aangewezen, is het product van een groep met een vector, die overeenkomt met SO(2) en O(2), evenals SO(3) en O(3), een actie: g × r

dat wil zeggen:
(166b)

Let op dat we het ook op equivalente wijze kunnen schrijven:
(167)

Voor de gerichte Euclidische groep en de volledige Euclidische groep moeten we een actie schrijven:
(168)

Maar deze acties, evenals de overeenkomstige acties van dynamische groepen op de ruimte, zoals:
(169)

geven... niets. Ze verplaatsen alleen objecten in de ruimte, of in de ruimte-tijd, of in verfijnde ruimtes (vijfdimensionale ruimte, tien-dimensionale ruimte).

We moeten iets "verborgen onder de groep" zoeken: zijn momentenruimte (alle matrixgroepen hebben er eentje) en zijn

co-adjointe actie op zijn momentenruimte.

die overeenkomt met de echte fysica.

Wat is fysica?

… Goede vraag. De Franse wiskundige Jean-Marie Souriau heeft het concept van de co-adjointe actie van een groep op zijn momentenruimte bedacht en in de vroege jaren zeventig aangetoond. Dit zal in de toekomst uitgebreid worden.

… Natuurlijk zal de fysicus, na de berekeningen, vragen:

Waarom?

… Met andere woorden, het werkt, maar kunnen we een fysische betekenis geven aan het concept van de co-adjointe actie van een dynamische groep op zijn momentenruimte? Het antwoord lijkt nee te zijn.

… Stel je voor dat je een leerling van Aristoteles bent. Plotseling krijg je een inzicht en je bedenkt een nieuw woord om het te noemen:
traagheid.

… Aristoteles komt. Hij is op de hoogte gebracht door andere leerlingen dat je iets nieuws hebt bedacht, en hij vraagt:

– Kun je ons uitleggen wat traagheid betekent?

Je kunt het niet uitleggen met het vocabulaire van Aristoteles. Je hebt dan een paradigma verandering meegemaakt.

… Ga naar het midden-eeuwen. Probeer een chemische reactie uit te leggen met het vocabulaire van de vier elementen. Ook onmogelijk…

De co-adjointe actie van een groep op zijn momentenruimte is een paradigma verandering. Het is een nieuw inzicht in de fysica.

In werkelijkheid manipuleren fysici constant groepsacties wanneer ze over "invariantie" of "behoudswetten" spreken.

Zo'n conventionele fysicus zal dan de volgende vraag stellen:

– Kun je me uitleggen wat de betekenis is van de co-adjointe actie van een groep op zijn momentenruimte, in eenvoudige woorden, als dat mogelijk is?

We antwoorden:

– Waarom gebruik je behoudswetten in de fysica?

– Oeh… omdat er behouden grootheden zijn: energie, massa, elektrische lading…

– Waarom zijn ze behouden?

– Maar dat is een fundamenteel principe!…

– Mijn beste vriend, beschouw de co-adjointe actie van een groep op zijn momentenruimte als een fundamenteel principe.

– Wat bedoel je?

– Elke fysica is gebaseerd op een groepsstructuur. Als je de groep identificeert, kun je zijn co-adjointe actie en de corresponderende momentenruimte bouwen. Vervolgens worden de componenten van het moment de corresponderende fysische grootheden.

– ………

Let op. Als je fysicus bent (zelfs een theoretische fysicus…) en je leest wat volgt, zul je een paradigma verandering ondergaan. Daarna zal de fysica gewoon… anders zijn.

Acties.

Wat is een actie?
Iets dat gerelateerd is aan een groep, dat de volgende axioma's volgt:
(170)

Natuurlijk, voor matrixgroepen is de samenstelling bewerking:

x
(rij-colomne matrixvermenigvuldiging)

Voor matrixgroepen kunnen we schrijven:
(171)

Beschouw de kolomvector:
(172)

waar x, bijvoorbeeld, vectoren vertegenwoordigt (173)

Voldoet (174)

aan de axioma's van een actie? Laat g en g' twee elementen van de groep G zijn.
(175)

(175b)

We moeten hebben:
(176) A_g(A_g'(x)) = A_g''(x)

dat wil zeggen:
(177)

vanwege de associativiteits eigenschap:
(178) g'' = g × g'

het is dus een actie van de groep.

… Merk op dat we het element g van de groep G links hebben geplaatst. Wat gebeurt er als we het rechts plaatsen? Dan moet het worden gecombineerd met een rijmatrix y.
(179) A_g(y) = y × g

Is het een actie?

Index Theorie van dynamische groepen