a4115
| 15 |
|---|
We hebben nodig:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Maar:
Het product van twee matrices is in het algemeen niet commutatief. Daarom geldt:
(181) Ag(y) = y × g
is geen groepsactie: het voldoet niet aan de voorgaande axioma’s. Wel komt het overeen met een „antiaction”:
(182)
Voor matrices:
(183)
We blijven op zoek naar acties en antiaties. Vanuit de vector x kunnen we zijn getransponeerde construeren en proberen:
(184)
Is dit een actie? Laten we het onderzoeken.
g" = g × g'
(185)
(186)
Hier gebruiken we een stelling uit de lineaire algebra:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
waarbij M en N willekeurige (n,n)-matrices zijn. Hieruit volgt:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
en:
(189)
wat inderdaad een groepsactie is. Overweeg nu:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Toon aan dat dit een actie is. We beschouwen de volgende drie matrices.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
We moeten controleren:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Bereken de linkerkant:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
ofwel:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
dus:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Dit is inderdaad een groepsactie. We noemen het, naar Souriau,
adjointe actie:
(193)
We gaan nu een antiaction van de groep op een matrix m beschouwen.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Toon aan dat deze voldoet aan:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Bereken de linkerkant:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
ofwel:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
dus:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
ofwel:
(199) g"⁻¹ × m × g"