a4116
| 16 |
|---|
We hebben nodig:
Dubbele acties.
Hierboven hebben we een actie gebouwd:
(200)
en een anti-actie:
(201)
De eerste kan verwijzen naar een kolomvector m:
(202) m' = g x m
en de tweede naar een rijvector n:
(203) n' = n x g-1
m behoort tot een bepaalde ruimte M
n behoort tot een andere ruimte N.
Vorm de scalair:
(204) S = n m Merk op dat:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
...We zullen zeggen dat de twee beschouwde acties dualen zijn. Evenzo zijn de twee ruimten M en N, waarin m en n behoren, duale ruimten: N = M* of M = N*
Over het algemeen zeggen we dat als m een vector is, n zijn covector is.
Het voorvoegsel co is kenmerkend voor dualiteit. Zoals Souriau opmerkte, bestaat dualiteit ook in de politiek en hij voegt toe:
- Dualiteit was al aanwezig in het marxisme-leninisme vanaf het begin. Denk maar aan de communist en de munist.
Neem een andere invalshoek. Stel dat we een actie hebben en die willen uitbreiden tot zijn duale.
Schematisch:
(206)
... Om een scalair product te vormen met de kolomvector m, moet n een rijvector zijn. Beide vectoren moeten dus worden gedefinieerd door hetzelfde aantal scalairen:
(207)
dan zoeken we de duale actie:
(208)
n' = Ag(n) zodanig dat het scalair product:
(209)
onveranderd blijft. We moeten hebben:
(210)
n' m' = n m We hebben:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
waarvan de oplossing is:
(213) Ag(n) = n x g-1
Naar de constructie van de essentiële actie, of coadjointe actie van een groep op zijn momentenruimte (naar Souriau).
We zoeken een actie van de groep op haar "momentenruimte". We gaan deze bouwen als de duale van een anti-actie:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
... In de vorige sectie was m een vector. Maar in (214) is het een matrix. We nemen een matrix die afhankelijk is van een bepaald aantal parameters: { m1 , m2 , . . . . , mn }
We moeten een duale verzameling scalairen bedenken: { n1 , n2 , . . . . , nn }
zodat:
(215)
Schematisch:
(216)