a4117
| 17 |
|---|
Keuze van de matrix m.
... Een groep G kan worden vergeleken met een bepaalde oppervlak. Het hangt af van een bepaald aantal parameters. Laten we P deze ruimte van parameters van de groep zijn en p een punt in deze ruimte. Het aantal van deze parameters pi is de dimensie van de groep.
(217)
Getoond: het neutrale element e (de eenheidsmatrix 1).
We kunnen een verandering d p geven:
(218)
... Vervolgens differentiëren we de matrix g, die een element van de groep is. We krijgen een vierkante matrix dg die niet tot de groep behoort. Men noemt dit de tangentvector aan de groep. Deze tangentvectoren vormen wat men de Lie-algebra van de groep noemt (die trouwens geen algebra is).
We kiezen om te differentiëren in de buurt van het neutrale element:
(219)
en we kiezen de volgende anti-actie:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Opmerking:
Waarom kiezen we de tangentvector aan de groep in g = 1?
... We zouden een algemenere vorm kunnen gebruiken, een tangentvector dg op elk punt van de groep. We zouden hetzelfde resultaat krijgen, maar de berekeningen zouden veel lastiger zijn.
De dimensie van de groep is n. De matrix g hangt af van n parameters { pi }.
Het element van de Lie-algebra dg(g=e) hangt af van hetzelfde aantal parameters { d pi }.
De berekening van de bovenstaande anti-actie levert de afbeelding:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
We introduceren evenveel scalairen: { J i }
We noemen deze verzameling het moment J van de groep. J = { J i }
Het is een verzameling van n grootheden, n scalairen. Soms kunnen we het in matrixvorm zetten (Poincaré-actie op zijn moment).
{ J i } is de cotangentvector { d p i } aan de tangentvector van de groep. De dualiteit geeft:
(222)
Uit deze behoud van het scalair product, als we de afbeelding kennen:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
kunnen we de duale afbeelding construeren:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Dit is de essentiële actie die we zoeken, en Souriau noemt dit de coadjointe actie van de groep op zijn momentruimte.
De beste manier om dit concept te illustreren is een voorbeeld te geven:
Coadjointe actie van de Poincaré-groep op haar momentruimte Jp.
Eerder hebben we de veralgemeende Lorentz-groep gepresenteerd. Door te kiezen:
(225)
krijgen we de Lorentz-groep L waarvan het element L voldoet aan de axioma-tische definitie:
(226)
De ruimtetijdvector is (227)
Met c = 1 krijgen we de elementaire kwadratische vorm, de Minkowski-metriek:
(228)
De inverse matrix is (229)
Introduceer nu een ruimtetijdtranslatie:
(230)
we bouwen het element gp van de Poincaré-groep Gp als volgt:
(231)
Oefening: toon aan dat dit een groep vormt en bereken de inverse matrix:
(232)
Het element van de Lie-algebra is (233)
en de anti-actie:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
We merken op dat
(235) G d L
een antisymmetrische matrix is. Noem deze:
(236)
waaruit:
(237)
Laat:
(238)
vanaf hier kunnen we de anti-actie construeren:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
wat ons de afbeelding geeft:
(240)
(240b) (240c)
is de gewenste afbeelding:
(241)