a4119
| 19 |
|---|
Deeltjes met spin.
...Het Poincaré-groep beschrijft de relativistische beweging van een puntvormig object. Evenzo beschrijft het Bargmann-groep de niet-relativistische beweging. De componenten van het moment ontstaan als zuiver meetkundige grootheden. Het is een meetkundige vormgeving van de natuurkunde. De natuurkundigen zijn vertrouwd met de energie E en de impulsvector p. Maar ze kunnen een beetje verward raken door de twee andere objecten: de passage f en de spinvector l. De vorm van de componenten van het moment hangt af van de keuze van coördinaten. ...Elke dynamische groep heeft zijn eigen momentruimte en een coadjointe actie op deze ruimte. Als we in plaats van eerst de relativistische wereld (Poincaré-groep) te kiezen, de niet-relativistische wereld hadden gekozen, zouden we ons moeten hebben gewend tot het Bargmann-groep. Voor berekeningsdetails zie mijn colleges over groepen. Het Bargmann-groep is een niet-triviale uitbreiding van het Galilei-groep: (272)
Zoals de lezer kan zien, werkt deze groep op een vijfdimensionale ruimte:
**r **: ruimte
t : tijd
z : een extra variabele.
...Deze vragen over extra variabelen zullen verder worden behandeld. Op deze site is hierboven de volledige berekening van de coadjointe actie van het Poincaré-groep gegeven. Men zou ook de berekening van de coadjointe actie van het Bargmann-groep op zijn momentruimte kunnen afleiden. Paradoxaal genoeg is de berekening in de niet-relativistische wereld iets ingewikkelder dan in de relativistische wereld. Het resultaat is als volgt: (273)
De natuurkundige herkent enkele bekende objecten, zoals de snelheid: (274)
en de kinetische energie: (275)
m v is de impuls. Snelheid ten opzichte van wat? Een groep verandert de parameters van de beweging, geeft een deeltje een snelheid v en een kinetische energie E. We kunnen ook de omgekeerde interpretatie kiezen en beschouwen dat een groep een bijzondere kijk op iets, op een deeltje is. Als we het SO(3)-groep beschouwen, de matrices a, betekent dit "gezien vanuit een andere hoek". Als we het O(3)-groep beschouwen, de matrices a, voegt dit de mogelijkheid toe om het "ding" te observeren via een spiegel.
De translatievector (276)
van het Euclidische groep voegt toe: "gezien van elders".
In dynamische groepen betekent het voorkomen van een snelheid v in de groep dat de waarnemer beweegt. De tijdsverschuiving e = Dt betekent dat de waarnemer het ding ziet na een bepaalde vertraging. De translatievector Dr en de tijdsvertraging Dt kunnen worden samengevoegd tot een ruimtetijdtranslatievector: (277)
Bekijk de formules, uit het Bargmann-groep zien we dat:
m' = m
Ongeacht het perspectief blijft de massa onveranderd.
Vereenvoudig dit "perspectief" een beetje door a = 1 te kiezen.
De coadjointe actie wordt: (278)
...De coadjointe actie geeft aan hoe de bewegingsparameters veranderen. Als we aannemen dat we van een stationaire situatie naar een niet-stationaire situatie gaan, corresponderen de beginvoorwaarden met:
E = 0 (nul energie)
**p **= 0 (nul impuls, nul snelheid)
"passage" f = 0
Dan geeft de coadjointe actie: (279)
"Beschouwen" moet in zijn etymologische betekenis worden gelezen.
Een procesdienst uitvoerder zegt: - Een inventaris en een opname opstellen.
...Een statisch (v = 0) beeld van dingen komt overeen met het Euclidische groep. De procesdienst uitvoerder observeert dingen op afstand c. Hij observeert feiten op het moment dat ze plaatsvinden (Dt = 0). Eventueel kijkt hij vanuit een bepaalde hoek (a verschilt van 1).
...Een generaal die over een slagveld vliegt in een vliegtuig, is een soort procesdienst uitvoerder die dingen observeert vanuit een bewegend perspectief (vanuit een vliegtuig dat met snelheid v vliegt). ...Maar een generaal, in zijn hoofdkwartier, die een film bekijkt die een uur eerder is opgenomen door een onbemand vliegtuig, een drone, zegt: - Beschouw het doelwit zoals het een uur geleden was (Dt niet nul), gezien vanuit een bewegend waarnemingspunt (v niet nul), vanaf een hoogte van vijfduizend voet (c niet nul), terwijl het vliegt met snelheid v en de foto wordt genomen onder een bepaalde hoek (a verschilt van 1).
...Een doelwit heeft geen gedefinieerde snelheid, positie of oriëntatie, zelfs als het een "vast" gebouw wordt verondersteld. Alles is relatief. Zelfs de Aarde, de Zon, onze melkweg bewegen in de ruimte.
...Het "noordpool" van de Aarde verschilt met dat van de Zon met 23°, en verandert in de tijd (26.000 jaar), door de voorjaarsverplating. Het noorden dat wordt aangegeven door de Zon (haar eigen rotatieas) is niet hetzelfde als dat aangegeven door onze melkweg, de Melkweg, die haar eigen rotatiebeweging heeft (verschil van 90°). Zelfs een melkweg beweegt met driehonderd mijl per uur. Ten opzichte van wat? Ten opzichte van de andere. Dat is alles wat we kunnen zeggen. De groep komt overeen met twee verschillende gezichtspunten.
...Als ik beschouw dat het object stilstaat, vast in ruimte en tijd, en geen rotatiebeweging heeft, dan kan ik alleen zeggen:
- Als ik me op afstand c verwijder.
- Als ik het ding observeer terwijl ik met snelheid v vlieg.
- Als de informatie uit dit ding met een tijdsvertraging Dt bij mij komt.
Ten opzichte van mij:
---> De massa van het object verandert niet.
----> Ik geef het object een impuls mv, beschouwd als schijnbaar.
-----> Het object krijgt een "passage" f = m [ c - v Dt ]
-----> Het krijgt een spin (279b)
Schrijf dit uitgebreider op: (280)
(281)
(282)
of: (283)
Men kan de drie onafhankelijke componenten van de spinmatrix l beschouwen als componenten van een vector: (283b)
...Hoewel het vectorproduct in onze ruimte niet is gedefinieerd, dat wil zeggen dat we de ruimte geen rechts-links oriëntatie hebben gegeven, kunnen we de laatste uitdrukking toch beschouwen als een vectorproduct. (284)
...Het omgekeerde v geeft het vectorproduct aan. We zien dat de laatste regel van de formules die de coadjointe actie geven overeenkomt met: (285)
l is een matrix, geen vector. Maar afhankelijk van de gekozen notatie geven vetgedrukte letters zowel een matrix als een vector aan.
Deze vector begint op een bekend ding voor de natuurkundige te lijken: het impulsmoment.