a4123
| 23 |
|---|
Herinneren aan de componenten van de Poincaré-groep:
E: energie
p: impuls
f: passage
l: spinmatrix.
Om dicht bij het tekst van Souriau te blijven, noemen we:
-
Ln het element van de neutrale component Ln van de volledige Lorentz-groep L.
-
Ls het element van de component die de ruimte omkeert.
-
Lt het element van de component die de tijd omkeert.
-
Lst het element van de component die zowel ruimte als tijd omkeert.
C is de ruimtetijdtranslatievector, waardoor we de volgende componenten van de Poincaré-groep krijgen:
gp ( Ln , C) element van de neutrale component Gpn.
gp ( Ls , C) element van de component Gps, die de ruimte omkeert.
gp ( Lt , C) element van de component Gpt, die de tijd omkeert.
gp ( Lst , C) element van de component Gpst, die beide omkeert.
De coadjointe actie is: (313)
P is de viervector:
(314)
We hebben vier karakteristieke matrices: (315)
met l = ± 1 en m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = -1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = -1)
(316)
(317)
(318)
We zijn geïnteresseerd in C = 0 (319)
waaruit l' = l en f' = l m f
en: (320)
gp ( Ln , C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp ( Lt , C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp ( Lst , C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
De omkeringen veranderen de spinmatrix l niet.
Omgekeerd zijn T-omkering en energie-omkering synoniem.
E → -E (we zouden dit een « E-symmetrie » kunnen noemen)
De spin s, zoals de grootte van de spinvector s, is slechts een getal, onveranderd onder de actie van alle componenten van de groep, of ze nu orthochroon of antichroon zijn. ... De rustenergie van een deeltje is mc². Zoals we zien gaat massa-omkering hand in hand met tijd-omkering. Maar ruimte-omkering verandert noch energie, noch massa.
Souriau noemt de twee eerste samenhangende componenten van de volledige Poincaré-groep:
Gpn, Gps
de orthochrone componenten (Gpn is de neutrale component).
En de twee andere: Gpt, Gpst
de antichrone componenten. Hiermee rijst het probleem van negatieve massa’s. Bestaan die? Als ja, wat gebeurt er bij een botsing tussen deeltjes met tegengestelde massa’s en energieën:
- mc² en - mc²
...Merk op dat dit niet overeenkomt met de zogenaamde « annihilatie » van een deeltje-antideeltje paar. Bij de botsing van dergelijke paren ontstaat stralingsenergie, fotonen. Het resultaat van de botsing tussen een deeltje met positieve energie en een deeltje met negatieve energie zou veel verontrustender moeten zijn, omdat het nul zou moeten zijn: niets.
...Wat is de natuur, wat zijn deeltjes? In deze aanpak beginnen we met een gegeven groep: de Poincaré-groep. Vervolgens bouwen we de actie van deze groep op haar impulsruimte. Deze impulsruimte bestaat uit punten. Elk punt staat voor een beweging van één van de meetkundige objecten die de ruimte vormen die aan de groep is gekoppeld.
...In de volgende paragraaf zullen we tonen dat de Poincaré-groep niet in staat is alle kenmerken van deeltjes te omvatten.
...De dimensie van de Poincaré-groep is 10.
De dimensie van de impulsruimte is dus ook tien. (321) J = { E, p, f, l }
Als we een coördinatenstelsel kiezen dat aan het deeltje gekoppeld is, geldt f = 0.
Samengevat zijn de enige kenmerken die natuurlijk uit de Poincaré-groep voortkomen als meetkundige grootheden:
Voor een deeltje met nul massa:
- Zijn energie – Zijn spin en heliciteit
Voor een deeltje met niet-nul massa:
- Zijn rustmassa – Zijn spin.
De andere kenmerken:
-
Elektrische lading
-
Baryongetal
-
Leptongetal
-
Muongetal
-
Tau-getal
-
Gyromagnetisch factor
en het feit dat dit deeltje kan overeenkomen met de wereld van materie of antimaterie, zijn niet « inbegrepen » in de Poincaré-groep. We zullen de groep later verrijken om deze te behandelen.
Op dit moment bouwt de groep geen deeltjes en antideeltjes. Maar als hij wordt aangevuld met zijn twee deelverzamelingen (de twee orthochrone componenten plus de twee antichrone componenten), bouwt hij wel als afzonderlijke soorten deeltjes met positieve en negatieve energie.
...Als de volledige Poincaré-groep het universum « beheerst », kunnen positieve en negatieve energie coëxisteren, zodat hun ontmoeting een volledige annihilatie veroorzaakt. Als het universum voor 50% gevuld zou zijn met deeltjes van positieve energie en voor 50% met deeltjes van negatieve energie, zou er een groot risico zijn dat het hele universum zichzelf annihilatie, zodat niets overblijft:
-
Geen deeltjes met positieve energie.
-
Geen deeltjes met negatieve energie – Geen fotonen met positieve energie
-
Geen fotonen met negatieve energie.
Niets. Niets ten slotte. Wat een ellende!
...Zoals Souriau suggereert, zou God, in Zijn oneindige wijsheid, alleen deeltjes met positieve energie en fotonen met positieve energie hebben geschapen. Evenzo zouden Zijn engelen het gebruik van de antichrone componenten van de Poincaré-groep verbieden, die streng ergens opgesloten zouden zijn.
...We zullen in een latere sectie over een andere mogelijkheid nadenken.