a4124
| 24 |
|---|
Het speciale Galileïsche groep.
...De lezer vindt deze uitbreiding in het boek van Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Ed. 1997 en, in het Frans, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Een groep kan worden uitgebreid. Dat betekent dat het aantal parameters waaraan hij afhankelijk is, zal toenemen. Bereken het aantal parameters waaraan de Galileïsche groep afhankelijk is. We beginnen met de 3D rotatiematrix:
(322)
Het is een orthogonale matrix:
(323)
Deze matrices vormen de groep SO(3), die een deelgroep is van de groep O(3) die bestaat uit alle orthogonale matrices. We hebben:
(324)
Herinner ons het verschil met:
(325) (325b)
zijn de meest algemene orthogonale matrices, waarvan de determinant voldoet aan:
(326)
Einde van deze tussenstuk.
De volgende groep van vierkante matrices (5,5) wordt de speciale Galileïsche groep genoemd:
(327)
De rotatiematrix hangt af van drie vrije parameters, de Eulerhoeken. De dimensie van de groep is dus tien.
Met behulp van de notaties:
(328)
krijgen we:
(329)
Geassocieerd met de ruimtetijdvector:
(330)
zodat de overeenkomstige actie van de speciale Galileïsche groep is:
(331)
...Gegeven de speciale Galileïsche groep, is het mogelijk om de actie van de groep op zijn momentenruimte te berekenen. Deze berekening wordt hier niet gegeven. De lezer kan deze vinden in mijn colleges over groepen, beschikbaar.
Laten we het resultaat geven:
(332)
We herkennen het moment p en de energie E. Het moment bestaat uit:
(333) JSG = { E , p , f , l }
...Tien scalaire grootheden. Tien dimensies voor de groep. We hebben nog steeds de overgangsvector f en de antisymmetrische spinmatrix l (bestaande uit drie onafhankelijke componenten lx, ly, lz, die de "spinvector" vormen").
De triviale uitbreiding van de speciale Galileïsche groep.
De volgende matrices vormen een nieuwe groep.
(334)
Ze introduceren een nieuwe component f, een scalaire grootheid, de "phasis" (verbonden aan de kwantumwereld). De dimensie van de groep wordt 10 + 1 = 11.
Deze nieuwe groep werkt op een vijfdimensionale ruimte:
(335)
z is een "extra dimensie". Ze werd voor het eerst ingevoerd door de Poolse Kaluza in 1921, en later door J.M. Souriau in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Uitgever, niet vertaald in het Engels).
Opnieuw kan men de overeenkomstige co-adjointe actie van de groep op zijn momentenruimte berekenen. We vinden dit:
(336)
Het moment wordt:
(337) JTESG = { m , E , p , f , l }
...We hebben een extra scalaire grootheid m en wij identificeren deze met de massa. We zien dat de speciale Galileïsche groep, werkend op de ruimtetijd, de energie oplevert, maar niet de massa, als component van het moment. Op dit moment (via triviale uitbreiding) krijgt ons deeltje een extra attribuut, dat wordt geïdentificeerd met de massa, zeer willekeurig, en dat niet interageert met de andere componenten van het moment.
Index Theorie van dynamische groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4124
| 24 |
|---|
The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.