a4125
| 25 |
|---|
Niet-triviale uitbreiding van de speciale Galileigroup.
De Bargmann-groep (1960)
De volgende matrices (zie mijn colleges over groepen)
(338)
vormen een groep, ontdekt door Bargmann in 1960. Opnieuw werkt deze op een vijfdimensionale ruimte. De dimensie is 11, vanwege de aanwezigheid van de scalair f. Het is een niet-triviale uitbreiding van de speciale Galileigroup.
(339)
Als men de co-adjointe actie van de groep op zijn moment berekent, krijgt men:
(340)
...We zien dat deze co-adjointe actie fijner is en dat de massa interageert met de andere componenten van het moment. We hebben dit hierboven geanalyseerd en laten zien hoe dit een fysische betekenis geeft aan de componenten van het moment.
...Een moment is een beweging van een bepaalde deeltje. De Bargmann-groep beschrijft niet-relativistische bewegingen. We kunnen een deeltje in rust beschouwen, zonder energie, zonder impuls, zonder spin. Gewoon een niet-nul massa:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
We gebruiken het volgende element van de Bargmann-groep:
(341)
De componenten van het moment worden:
(342)
...In een coördinatensysteem dat aan het deeltje gekoppeld is, blijft de overgang **f **nul. We hebben laten zien dat de spinmatrix overeenkomt met het impulsmoment.
...Hier is het belangrijk om de triviale uitbreiding van de speciale Galileigroup te bekijken (waarom "speciaal"? Dit wordt verder uitgelegd). Bij deze triviale uitbreiding wordt er slechts een extra scalair toegevoegd aan het moment.
Laten we nu de uitbreiding van de Poincaré-groep bekijken:
Centrale uitbreiding van de Poincaré-groep. (343)
"ep" betekent "uitgebreide Poincaré-groep". Lo is het element van het orthochrone deelgroep Lo van de volledige Lorentz-groep L. Dus we kunnen het bovenstaande element beschouwen als het orthochrone deelgroep Gepo van een volledige uitgebreide Poincaré-groep, waarvan het element is:
(344)
Beide werken op een vijfdimensionale ruimte:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Men kan tonen dat deze uitbreiding geen niet-nulle termen kan ondersteunen op de eerste rij, in plaats van 0 = ( 0 0 0 ), tussen 1 en f.
...Zoals J.M. Souriau heeft aangetoond, stelt de meetkundige kwantificatie methode (Kostant-Kirillov-Souriau methode) ons in staat de Schrödinger-vergelijking af te leiden van de Bargmann-groep en de Klein-Gordon-vergelijking van de uitgebreide Poincaré-groep ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Éd. 1972). Bovendien voegt deze centrale uitbreiding van de groep een extra scalair toe aan het moment (zoals in de triviale uitbreiding van de Bargmann-groep):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp stelt het klassieke Poincaré-moment voor. Dan wordt de co-adjointe actie van het moment simpelweg:
(347)
De berekening is niet moeilijk en is vergelijkbaar met de hierboven gepresenteerde. Men berekent de anti-actie:
(348)
Daarna wordt de dualiteit uitgedrukt door de constante van de volgende scalair:
(349)
...Hierdoor krijgen we een extra scalair c, dat simpelweg behouden blijft door de co-adjointe actie. Sindsdien had deze scalair geen fysische interpretatie gekregen. We zullen dit in het vervolg verduidelijken. Uiteraard kunnen we de groep zoveel keer uitbreiden als we willen:
(350)
Elke keer voegen we een extra scalair toe
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } en de co-adjointe actie wordt:
(352)
De lezer zal zeggen: "Nou, waarom voegen we niet 57 nieuwe scalaires toe?"
Voeg gewoon zes toe en identificeer deze nieuwe scalaires met
(353)
c 1 = q (elektrische lading)
c 2 = cB (baryonische lading)
c 3 = cL (leptonische lading)
c 4 = cm (muonische lading)
c 5 = ct (tauonische lading)
c 6 = v (gyromagnetische coëfficiënt)
De groep werkt op de volgende tien-dimensionale ruimte:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
dat wil zeggen: ruimte-tijd plus zes extra dimensies.
(355)
Herinner dat deze groep is opgebouwd uit het orthochrone deelgroep
Lo = Ln (neutrale component) U Ls (corresponderend met ruimte-inversie)
van de volledige Lorentz-groep L.
Het moment wordt:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp is de deel van het moment dat overeenkomt met de Poincaré-groep Gop (orthochrone deelgroep).
Wat is de fysische betekenis?
...Een moment behoort tot een ruimte, die een n-dimensionale variëteit is. De Poincaré-groep heeft tien dimensies, dus het Poincaré-moment bestaat uit tien grootheden.
Vervolgens voegen we zes extra dimensies toe aan de groep, die overeenkomen met de extra fasen:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Het moment wordt:
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
We besluiten dat onder de set van scalaires
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
we de energie E, de impuls p, de overgang f, de antisymmetrische spinmatrix l identificeren.
...E en p kunnen alle mogelijke waarden aannemen, maar kwantumargumenten eisen de constante van de modulus s van het spinvector (in een coördinatensysteem gekoppeld aan het deeltje), wat hier niet gejustificeerd is en overeenkomt met het werk van Souriau.
We hebben zes extra scalaires:
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...We besluiten dat, onder een oneindig aantal mogelijke keuzes, sommige discrete keuzes overeenkomen met echte deeltjes (en anti-deeltjes). Dan selecteren we in de 16-variëteit die overeenkomt met de momentenruimte discrete bewegingen die overeenkomen met deeltjes, met gedefinieerde kwantumgetallen
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Tot nu toe zorgt de co-adjointe actie van de groep simpelweg voor de behoud van deze grootheden, langs gegeven bewegingen. Er zijn "passieve kwantumgetallen" en de massa verschijnt als een passieve grootheid, wanneer deze afkomstig is van de triviale uitbreiding van de speciale Galileigroup.
Index Theorie van Dynamische Groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4125
| 25 |
|---|
Non-trivial extension of the Special Galileo's group.
**The Bargmann's group **( 1960 )
The following matrixes ( see my lectures on groups )
(338)
form a group, discovered by Bargmann in 1960. Here again, it acts on a five-dimensional space. Its dimension is 11, due to the presence of the scalar f . It's a non-trivial extension of the Special Galileo's group.
(339)
If one compute the coadjoint action of the group on its momentum, one gets :
(340)
...We see that this coadjoint action is more refined and that the mass interacts with the other components of the moment. We have analyzed that above and shown how it brings the physical meaning of the momentum's components.
...A momentum is a movement of a given particle. The Bargmann's group describes non-relativist movements. We may consider a particle at rest, with no energy, no impulsion, no spin. Just a non-zero mass :
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
We use the following element of the Bargmann's group :
(341)
The components of the momentum become :
(342)
...In a system of coordinates linked to the particle the passage **f **is still zero. We have show than the spin matrix identifies to kinetic momentum.
...Here, what is important is to look at the trivial extension of the Special Galileo's group (why "special" ? This will be explained further). When one performs this trivial extension, it just brings an additional scalar to the momentum.
Let us extend the Poincaré's group :
Central extension of the Poincaré's group. (343)
"ep" means "extended Poincaré's group". Lo is the element of the orthochron sub-group Lo of the complete Lorentz group L. So that we may consider the above element as the orthochron sub-group Gepo of a complete extended Poincaré's group, whose element is :
(344)
The two act of five dimensional space :
(345) ( t , x , y , z , z ).
On can show that this extension cannot stand non zero terms on the first line, instead 0 = ( 0 0 0) , between 1 and f .
...As shown by J.M.Souriau, the geometric quantification method (Kostant-Kirilov-Souriau method) brings the Schrödinger equation from the Bargmann's group and the Klein Gordon equation from the extended Poincaré's group ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972 ). In addition this central extension of the group adds an extra scalar to the momentum (as in the trivial extension of the Bargmann's group) :
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp represents the calssical Poincaré's momentum. Then the coadjoint action of the momentum simply becomes :
(347)
The calculation is not complicated and is similar to the one presented above. One computes the anti-action :
(348)
Then the duality is expressed through the constancy of the following scalar :
(349)
...So that we get an additional scalar c , which is just conserved through the coadjoint action. Since now this scalar had received no physical interpretation. We are going to clear up all that in the following. Obviously we can extend the group as many time we want :
(350)
Each time, it adds an additional scalar
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } and the coadjoint action becomes :
(352)
The reader will say "well, why don't we add 57 new scalars ? "
Just add six and identify these new scalars to
(353)
c 1 = q (electric charge)
c 2 = cB (baryonic charge)
c 3 = cL (leptonic charge)
c 4 = cm (muonic charge)
c 5 = ct (tauonic charge)
c 6 = v (gyromagnetic coefficient)
The group acts on the following ten dimensional space :
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
i.e : space-time plus six additional dimensions.
(355)
Recall that this group is built with the orthochron sub-group
Lo = Ln (neutral component) U Ls (achieving space-inversion)
of the complete Lorentz group L.
The momentum becomes :
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp being the part of the moment corresponding to the Poincaré's group Gop (orthochron sub-group).
What is the physical meaning ?
...A momentum belongs to a space, which is a n-manifold. The Poincaré's group owns ten dimensions, so that the Poincaré's group momentum is composed by ten quantities.
Then we add six more dimensions to the group, corresponding to the additional phasis :
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
The momentum becomes :
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
We decide that amon te set of scalars
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
we identify the energy E, the momentum p, the passage **f **, the spin antisymmetric matrix l .
...E and** p** may take all possible values, but quantum arguments impose the constancy of the modulus s of the spin vector (in a system of coordonates linked to the particle), which is not justified here and corresponds to Souriau's work.
We have six more scalars :
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...We decide that, among an infinity of possible choices, some discrete choices correspond to real particles (and anti-particles). Then, in the 16-manifold corresponding to the momentum space we select discrete movements corresponding to particules, with defined quantum numbers
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...For the moment the coadjoint action of the group just ensures the conservation of these quantities, along given movements. There are "passive quantum numbers" as well as the mass appeared as a passive quantity, when arising from the trivial extension of the Special Galileo's group.