| 2 |
3 - Derde axiom van
groepentheorie :
Elk element van de groep
moet zijn inverse bezitten, geschreven als g-1 , gedefinieerd door :
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
In ons voorbeeld :
(16)
d.w.z. : b
= - a of :
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Hier is de berekening
van de inverse matrix triviaal.
Wat is de voorwaarde
voor een gegeven vierkante matrix om zijn inverse te bezitten ?
...Aan
elke vierkante matrix kunnen we een scalaire waarde associëren die determinant heet. Voor de definitie zie elk boek gewijd aan lineaire algebra. Deze determinant wordt genoteerd als : det ( g )
Daarnaast hebben we een
algemene stelling :
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
De determinant van een
diagonale matrix is :
(18)
Als gevolg daarvan :
det ( 1 ) = 1
want 1 is een diagonale matrix.
Uit de definitie van
de inverse van een matrix :
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Dan :
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Als
det (g) = 0 kan de voorwaarde (19) niet worden vervuld. Verzamelingen van matrices waarvan de elementen een nul-determinant hebben, voldoen niet aan het derde axiom en kunnen geen groep vormen.
Trouwens :
(20)
4 - Vierde axiom
van groepentheorie :
De vermenigvuldiging moet
associatief zijn, d.w.z. : .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
Matrixvermenigvuldiging
is in principe associatief.
Dimensie van een
groep :
...Zoals
we zullen zien, kan een groep werken op een ruimte waarvan de punten worden beschreven door kolomvectoren. Voorbeeld van ruimtetijd-punten (genoemd "gebeurtenissen") :
(22)
...Dit
is een vierdimensionale ruimte. Verschillende groepen kunnen erop werken. Maar de dimensie van een groep heeft niets te maken met de dimensie van de ruimte waarop deze werkt.
De dimensie van
een groep (van matrices) is het aantal
parameters die
deze vierkante matrices definiëren.
We hebben een voorbeeld
gegeven van matrices, gedefinieerd door een enkele parameter
a
Zodat de dimensie van
deze groep één is.
Merk op dat :
(22-bis)
Opmerking :
Niet alle groepen van
matrices zijn commutatief, hoewel de groep die we bestudeerden deze eigenschap bezit :
(23)
Als een dergelijke groep
werkt op een kolomvector, die overeenkomt met een 2D-ruimte :
(23 bis)
dit komt overeen met een rotatie rond een vast punt, in een vlak :
(23 ter)
Deze operatie is uiteraard
commutatief.
Je zult geneigd zijn
te zeggen : "zoals alle rotatiegroepen".
...Je
hebt het verkeerd. Beschouw rotaties rond assen die door een gegeven punt O gaan. Combineer twee opeenvolgende rotaties, rond verschillende assen. Dit is niet commutatief. Oefening : bewijs dit, gebruikmakend van een orthogonaal assenstelsel (OX, OY, OZ), dat de combinatie van rotaties rond deze assen geen commutatieve operatie is. Neem een willekeurig object.
- Voer een rotatie van +90°
uit rond OX, dan een rotatie van +90° rond OZ
Keer terug naar de beginvoorwaarden
en :
- Voer een rotatie van +90°
uit rond OZ, dan een rotatie van +90° rond OX
Vergelijk de resultaten.
Werking van een
groep.
...Een
groep G bestaat uit vierkante matrices g . Ze kunnen worden vermenigvuldigd. We zeggen dat een groep op zichzelf kan werken .
De groep kan ook werken op een ruimte, bestaande uit punten, beschreven door kolomvectoren. Voorbeeld :
(24)
Als we schrijven :
(25)
wordt de werking van de groep
op deze ruimte :
(26)
g
x r
...In
dit specifieke geval komt de werking op de ruimte overeen met de eenvoudige matrixvermenigvuldiging. Maar het concept van een werking is veel algemener.
