| 14 |
Het project.
...Ons uitgangspunt zal een dynamische groep G zijn, d.w.z. een familie van vierkante matrices g.
...Dynamisch: omdat tijd in het spel is.
...Deze groep heeft een zekere dimensie n. Hij kan werken op een ruimte X, die haar eigen dimensie heeft (die niets te maken heeft met de dimensie van de groep, deze laatste zijnde het aantal onafhankelijke parameters die elke matrix g van de verzameling, die de groep G vormt, definiëren).
...Nu hebben we een actie nodig, om een ruimte te definiëren waarop de groep werkt, haar impulsruimte. Deze ruimte is niet de ruimte-tijd waarin de deeltjes geacht worden te reizen. Het bouwen van zo'n ruimte zal ons in een vreemd land brengen, dat op een of ander schizofreen land zal lijken. Maar als je deze weg volgt, zul je dichter bij de fysische realiteit zijn dan je ooit bent geweest.
...Wanneer we een ruimte hebben om mee te spelen, en een actie om op te werken, zullen we de moment-bewegingen in soorten classificeren en zulke soorten identificeren met elementaire deeltjes.
...Hierboven zeiden we dat het product van een groep met een vector, overeenkomend met SO(2) en O(2), evenals SO(3) en O(3), overeenkwam met een actie:
g x r
d.w.z.:
(166b)
Merk op dat we het op de equivalente manier konden schrijven:
(167)
Voor de georiënteerde Euclidische groep en de volledige Euclidische groep moeten we een actie schrijven:
(168)
Maar deze acties, evenals de overeenkomstige acties van dynamische groepen op de ruimte, zoals:
(169)
geven ... niets. Ze dragen gewoon objecten in de ruimte, of ruimte-tijd, of meer verfijnde ruimten (5-dimensionale ruimte, tien-dimensionale ruimte).
We moeten iets "verborgen onder de groep" zoeken: haar impulsruimte (alle groepen van matrices bezitten er een) en haar
coadjoint actie op haar impulsruimte.
die overeenkomt met echte fysica.
Wat is fysica?
...Goede vraag. De Franse wiskundige Jean-Marie Souriau vond het concept van de coadjoint actie van een groep op haar impulsruimte uit en toonde dit begin jaren zeventig aan. In het volgende zal dit worden ontwikkeld.
...Natuurlijk zal de fysicus aan het einde van de berekening vragen
Waarom?
...Met andere woorden, het werkt, maar kunnen we een fysische betekenis geven aan dit concept van coadjoint actie van een dynamische groep op haar impulsruimte. Het antwoord lijkt nee te zijn.
...Stel je voor dat je een leerling van Aristoteles bent. Plotseling heb je een intuïtie en je vindt een nieuw woord uit om het te benoemen:
traagheid.
...Aristoteles komt aan. Hij is door andere leerlingen gewaarschuwd dat je iets nieuws had uitgevonden, en hij vraagt:
- Kun je ons uitleggen wat traagheid betekent?
Je zult niet in staat zijn het te doen, met Aristoteles' woorden. Je zult een paradigmaverschuiving hebben meegemaakt.
Spring naar de middeleeuwen. Probeer een chemische reactie uit te leggen in termen van de woordenschat van de vier elementen. Ook onmogelijk...
De coadjoint actie van een groep op haar impulsruimte is een paradigmaverschuiving. Het is een nieuw inzicht in de fysica.
In feite hanteren fysici de hele tijd groepsacties wanneer ze spreken over "invariantie", "behoudswetten".
Zo'n conventionele fysicus zal vragen:
- Kun je me uitleggen wat de betekenis is van de coadjoint actie van een groep op haar impulsruimte, in eenvoudige woorden, indien mogelijk?
We antwoorden:
-
Waarom gebruik je behoudswetten in de fysica?
-
Aoh... omdat er behouden grootheden zijn: energie, massa, elektrische lading...
-
Waarom zijn ze behouden?
-
Maar het is een basisprincipe!...
-
Mijn beste vriend, beschouw de coadjoint actie van een groep op haar impulsruimte als een basisprincipe.
-
Wat bedoel je?
-
Elke fysica is gebaseerd op een groepsstructuur. Als je de groep identificeert, kun je haar coadjoint actie en de overeenkomstige impulsruimte bouwen. Dan zijn de componenten van het moment de overeenkomstige fysische grootheden.
-
........
Waarschuwing. Als je een fysicus bent (zelfs een theoretisch fysicus...) en als je leest wat volgt, zul je een paradigmatische mutatie ondergaan. Daarna zal de fysica eenvoudigweg... anders zijn.
Acties.
Wat is een actie?
Iets verbonden aan een groep, dat de volgende axioma's gehoorzaamt:
(170)
Natuurlijk is voor groepen van matrices de compositie-operatie:
x
(rij-kolom matrixvermenigvuldiging)
Voor matrixgroepen kunnen we schrijven:
(171)
Beschouw de kolomvector:
(172)
waar x bijvoorbeeld vectoren voorstelt
(173)
Past
(174)
bij de axioma's van de actie? Laat g en g' twee elementen van de groep G zijn.
(175)
(175b)
We moeten hebben:
(176)
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
d.w.z.:
(177)
onder de associativiteitseigenschap:
(178)
g" = g x g'
is een actie van de groep.
...Merk op dat we het element g van de groep G aan de linkerkant hebben geplaatst. Wat gebeurt er als we het aan de rechterkant plaatsen? Dan moet het gecombineerd worden met een rij-matrix y.
(179)
Ag(y) = y x g
Is het een actie?
