| 15 |
We hebben nodig:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Maar :
Het product van twee matrices
is in het algemeen niet commutatief. Als conclusie :
(181)
Ag(y)
= y x g
is geen groepsactie
: Het voldoet niet aan de bovenstaande axioma's. Maar het voldoet aan een ander, dat overeenkomt met
een "anti-actie".
(182)
Voor matrices :
(183
We zijn nog steeds op zoek
naar acties en anti-acties. Van de x-vector kunnen we de getransponeerde opbouwen en proberen :
(184)
is het een actie
? Laten we verder gaan.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Hier gebruiken we een stelling van de lineaire calculus :
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
waar M en N
willekeurige (n,n)-matrices zijn. Vandaar :
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
en :
(189)
wat een groepsactie
is. Beschouw
nu :
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Toon aan dat het een actie is.
We zullen de volgende drie matrices beschouwen.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
We hebben nodig :
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Vorm het eerste lid
:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
of :
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
d.w.z. :
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
Het is een groepsactie.
We zullen het, naar Souriau, noemen:
Adjointe actie
:
(193)
We gaan nu een anti-actie van de groep op een matrix m beschouwen.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Toon aan dat het voldoet aan :
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Vorm het eerste lid
:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
of :
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
d.w.z. :
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
of :
(199)
g" -1
x
m x
g"
