| 16 |
We hebben nodig:
Duale acties.
We hebben hierboven een actie gebouwd:
(200)
een anti-actie:
(201)
De eerste kan betrekking hebben op elke kolomvector m:
(202)
m' = g xm
en de tweede op elke rijvector n:
(203)
n' = n
x g-1
m behoort tot een zekere ruimte M
n behoort tot een andere ruimte N.
Vorm het scalair product:
(204)
S = n m
Merk op dat:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...We zullen zeggen dat de twee beschouwde acties duaal zijn. Op dezelfde manier zijn de twee ruimten M en N, waartoe m en n behoren, duale ruimten:
N = M* of M = N*
Gewoonlijk zeggen we dat als m een vector is, n zijn covector is.
Het voorvoegsel co is typisch voor de dualiteit. Zoals Souriau opmerkte, bestaat de dualiteit in de politiek en hij voegt eraan toe:
- De dualiteit was vanaf het begin aanwezig in het marxisme-leninisme. Denk aan de munist en de communist.
Neem een ander standpunt in. Stel dat we één actie hebben en we willen de duale ervan bouwen.
Schematisch:
(206)
...Om een scalair product te vormen met de kolomvector m, moet n een rijvector zijn. Dan moeten deze twee vectoren door hetzelfde aantal scalars worden gedefinieerd:
(207)
dan zoeken we de duale actie:
(208)
n' = Ag(n)
zodat het scalair product:
(209)
invariant is. We moeten hebben:
(210)
n' m'
= n m
We hebben:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
waarvan de oplossing is:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Naar het bouwen van de essentiële actie, of coadjoint-actie van een groep op zijn moment (naar Souriau).
We zoeken een actie van de groep op haar "momentruimte". We gaan die bouwen als de duale van een anti-actie:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...In de voorgaande paragraaf was m een vector. Maar in (214) is het een matrix. We zullen een matrix nemen, die afhangt van een bepaald aantal parameters:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
We moeten ons een duale verzameling scalars voorstellen:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
zodat:
(215)
Schematisch:
(216)
