| 17 |
Keuze van de matrix
m .
...Een
groep G kan worden vergeleken met een bepaald oppervlak. Het hangt af van een
bepaald aantal
parameters. Laat P deze ruimte van de parameters van de groep zijn en
p een punt van deze ruimte. Het aantal van deze parameters pi
is de dimensie van de groep.
(217)
Getoond: het neutrale element e ( de eenheidsmatrix 1 ).
We kunnen een
increment d p
geven:
(218)
...Vervolgens
differentiëren we de matrix g die het element van de groep is. We
krijgen een vierkante matrix dg die niet
tot de groep behoort. Men noemt dit het "raakvector aan de groep". Deze
raakvectoren vormen wat men de "Lie-algebra" van de groep noemt ( die
overigens geen algebra is ).
We kiezen ervoor om te
differentiëren in de buurt van het neutrale element:
(219)
en we kiezen de volgende
antihandeling:
(220)
AAg(m)
= g-1 x
dg(g=e) x
g
Opmerking:
Waarom kiezen we de raakvector aan de groep bij g = 1?
...We
konden een meer algemene raakvector dg gebruiken op elk punt van de groep. We zouden hetzelfde resultaat krijgen, maar de berekening
zou veel omslachtiger zijn.
De dimensie van de
groep is n. De matrix g hangt af van n parameters { pi
}..
Het element van de Lie
Algebra dg(g=e) hangt af van hetzelfde
aantal parameters {d pi
}.
De berekening van de
bovenstaande antihandeling zal de afbeelding opleveren:
(221)
{ d
pi
} -----> { d pp'i
}
We introduceren hetzelfde
aantal scalaren:
{ J i }
We noemen deze verzameling de
impuls J van de groep.
J = { J i
}
Het is een verzameling van n grootheden,
n scalaren. Soms kunnen we het in een matrix zetten ( de handeling van Poincaré op zijn impuls ).
{ J i } is
de cotangentvector { d p
i } van de raakvector van de groep. De dualiteit geeft:
(222)
Uit deze behoud van het inproduct, als we de afbeelding kennen:
(223)
{ d
p
i } -----> { d p'
i }
kunnen we de duale
afbeelding construeren:
(224)
{ J i } ----->
{ J 'i }
Dit is de essentiële
handeling die we zoeken, en Souriau noemt dit de coadjointe handeling van de groep op zijn impulsruimte.
De beste manier om dit
concept te illustreren is door een voorbeeld te geven:
Coadjointe handeling van
de Poincaré-groep op zijn impulsruimte Jp .
Hierboven hebben we de
generaliseerde Lorentz-groep gepresenteerd. Door te kiezen:
(225)
krijgen we de Lorentz-groep
L waarvan het element L voldoet aan de axiomatische definitie:
(226)
De ruimtetijdvector is
(227)
Met c = 1 krijgen we de
elementaire kwadratische vorm, de Minkowski-metriek:
(228)
De inverse matrix is
(229)
Introduceer nu een ruimtetijd
-vertaling:
(230)
we construeren het element
gp van de Poincaré-groep Gp als volgt
:
(231)
Oefening: toon aan dat het een groep vormt en bereken de inverse matrix:
(232)
Het element van de Lie
-algebra is
(233)
en de antihandeling:
(234)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
We merken op dat
(235)
G d
L
een antisymmetrische
matrix is. Noem het:
(236)
waaruit:
(237)
Laat:
(238)
hieruit kunnen we de antihandeling construeren:
(239)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
die ons de
afbeelding zal geven:
(240)
(240b)
(240c)
is de vereiste
afbeelding:
(241)
